осям 0х и 0z не вызывают трудностей, т. к. эти оси лежат в картине. Рассмотрим процесс измерения отрезков по оси 0у.

Рис. 89

Конструкция, которую мы видим на чертеже перспективы (рис. 89) изображена на рис. 90, в косоугольной аксонометрической проекции. Из рис. 90, видно, что отрезок 01, отложенный на оси 0х, можно перенести без искажений длины на ось 0у. Это направление совпадает с прямой, наклонной под углом 45о к картине (т. к. треугольник 1 0 1 − прямоугольный и равнобедренный). Такой же отрезок S1 , 1 откладывается и на проекции главного луча Р0 S1 .

Рис. 90

95

Проводя прямые по заданному направлению, мы можем нанести на ось 0у любое количество единичных отрезков. Назовем направление, введенное нами выше, неискажающим направлением. Построив неискажающее направление через центр проецирования S , параллельное Т, мы получим на линии горизонта (рис. 90) точку D, которая называется дистанционной точкой. Это и будет точка схода для неискажающих направлений горизонтальных прямых, перпендикулярных картине (а значит и оси 0у). Из рис. 90 видно, что если отложить от точки S единичные отрезки по разные стороны от нее по главному лучу, то неискажающие направления, проведенные через концевые точки этих отрезков, приведут к появлению на осях 0х и 0у отрицательных отрезков. Но тогда неискажающее направление, проведенное через S, должно приводить к нулевой точке на осях 0х и 0у, т. е. к точке начала координат. Отсюда следует, что ось z должна проходить через точку D на чертеже перспективы (отрезок DP = SP ). Ось 0у проходит через начало координат и имеет точку схода в главной точке картины. На чертеже рис. 89 перспективы неискажающих направлений, проведенных через точки 1, 2, 3, … , 7, 8 … , имеют точку схода в дистанционной точке D. Проведя соответствующие этому направлению прямые, мы получаем конечные точки единичных отрезков на чертеже перспективы оси 0у. Теперь мы можем строить чертежи перспективы точек по их координатам (см. пример на рис. 89).

Изложенный метод построения чертежей перспективы называется методом координат. Важно отметить, что этот метод основан на реализации внешней параметризации оригинала. То есть система координат выбрана из элементов геометрической схемы построения перспективы и независима от оригинала. Полученный чертеж перспективы является метрически определенным и позволяет решать на нём любые позиционные и метрические задачи.

6.2. Метод архитекторов

Исходя из теории параметризации, можно поставить задачу построения перспективы на базе внутренней параметризации оригинала. В этом случае система координат, очевидно, должна выбираться зависимой от оригинала. Все элементы геометрической схемы построения перспективы должны в этом случае параметризационно задаваться в этой системе координат, независимо от геометрической схемы. Обсуждаемый нами метод называется методом архитекторов. Рассмотрим метод архитекторов более подробно.

96

Рис. 91

Пусть (рис. 91) точка А (А1 , А2) является частью оригинала, форма которого описана параметрами формы в системе координат 0хуz. Зададим в этой системе координат картинную плоскость К условием перпендикулярности к плоскости 0ху, углом ϕ наклона к плоскости 0уz и отрезком 02, который плоскость К отсекает на оси 0у . В этой же системе задаются: центр проецирования, точка S, главная точка картины Р и, следовательно, главный луч SP и линия горизонта h. Рассмотрим в этой схеме построение чертежа перспективы системы координат 0хуz и точки А, отнесённой к этой системе. Оси координат 0х и 0у лежат в предметной плоскости 0ху, в которой лежит линия основания картины.

На рис. 92 показана картинная плоскость, совмещенная со страницей нашего пособия. Оси 0х и 0у на чертеже перспективы построены по точкам

перспективу 0 к начала координат. Через точку 0 к проходит ось z к h .

97

Рис. 92

Для построения чертежа перспективы точки А выполняем построение сначала перспективы основания (на рис. 91 этой точке соответствует в оригинале точка А1 ). Для построения точки А k1 проведем на рис. 91 проецирующую прямую из точки S в точку А1 . Через эту прямую проведём го- ризонтально-проецирующую плоскость α (на рис. 91 она задана своим

следом α1 ). Плоскость α пересекает плоскость картины по вертикальной прямой, которая проходит на рис. 92 через точку 40 , находящуюся на основании картины на расстоянии 40,Р0 , равным расстоянию 42 Р02 на рис. 91. На этой вертикали расположена точка А к1 . Чтобы её построить, проведем через А1 дополнительную прямую (её можно выбрать произвольно). Однако выгоднее провести прямую по направлению, для которого на чертеже есть точка схода. Проведем, например, прямую, перпендикулярную картине. Точка схода этой прямой на чертеже перспективы имеется, это точка Р. Упомянутая линия строится по её картинному следу 50 и точке схода Р. Перспектива основания А к1 находится в пересечении двух построенных нами в ходе решения задачи линий. Проведя через А к1 прямую в точку схода F, получаем точку 3 к1 . Отрезок О к3 к1 является чертежом перспективы ординаты точки А. Аппликата точки строится в перспективе с использованием процесса совмещения вертикали А к1 40 с картинной плоскостью. Упомянутую вертикаль необходимо переместить параллельно самой себе по любому направлению до совмещения с картиной. На рис. 92 это сделано перемещением вертикали параллельно оси 0х (т. е. параллельно А к1 , F ′). Перемещение показано стрелкой. Отрезок 60 А равен истинной величине аппликаты точки А, т. е. отрезку А2 , 32 на рис. 91. Обратным перемещением точки А получаем точку А к, которая является чертежом перспективы точки А вместе с перспективой основания, точкой А к1 .

98

Рис. 93

Изложенные операции построения произвольной точки на чертеже перспективы используются при построении чертежей перспектив более сложных объектов. Пример показан на рис. 93, 94.

Рис. 94

Построения, показанные на рис. 93, называются установкой перспективы. Здесь задаётся плоскость картины, положение точек P, F, F ′, S, положение линии горизонта h. Все параметры исчисляются относительно системы координат 0хуz, связанной с оригиналом. Необходимо отметить

99

некоторые ограничения на параметры углов ω и α, принятые архитекторами. Угол ω, стороны которого идут в крайние точки оригинала (в перспективе это точки 11 и 21 ), ограничен величиной не более 30 о - 32 о. Этот угол моделирует угол зрения человека, при наблюдении им объекта без поворота головы. Угол ϕ рекомендуется выбирать таким, чтобы главный луч был близок к биссектрисе угла зрения. Эти рекомендации обеспечивают наибольшую наглядность чертежа перспективы и ограничивают искажения формы объекта на изображениях.

Построения на рис. 93-94 аналогичны приведенным на рис. 91-92. Для построения окружности в перспективе использованы точки касания окружности со сторонами квадрата грани призмы и точки пересечения окружности с диагоналями квадрата. Истинную высоту призмы в данном случае строить не приходится, т. к. одно из вертикальных рёбер призмы находится в плоскости картины (см. рис. 93).

Рассмотрим основные приемы решения позиционных и метрических задач на чертежах перспективы.

Простейшие примеры таких задач встречались ранее. Так, на рис. 84-88 были показаны задачи на построение следов прямых и плоскостей на картинной, предметной и бесконечно удаленной плоскостях. Эти задачи являются позиционными. На рис. 89 была показана задача построения в перспективе отрезков равной длины на изображении оси 0у. При этом схема построения чертежа перспективы была дополнена точкой D − дистанционной точкой, которая обеспечила чертежу метрическую определённость. Точка D удалена от точки Р по линии горизонта на расстояние, равное длине главного луча SP. Из рис. 90 видно, что эта точка является точкой схода прямых, неискажающих расстояния в перспективе, отложенных на прямых, перпендикулярных картине.

На рис. 95 показаны основные позиционные задачи, рассматриваемые в начертательной геометрии: построение пересечения прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей. Из рис. 95 видно, что проекции перспективы фигур и проекции основания перспективы фигур объединяются линиями связи, которые в пространстве параллельны плоскости картины и перпендикулярны предметной плоскости. Такие линии сохраняют взаимную параллельность на чертеже перспективы. Это обеспечивает перенос инциденций точек и линий с проекции перспективы на проекцию перспективы основания без перспективных искажений аналогично ортогональному чертежу. Поэтому процессы решения приведенных позиционных

100

задач совершенно аналогичны тем, которые применялись на эпюре Монжа либо на техническом чертеже.

плоскостей-посредников с исходными плоскостями и отмечены точки пересечения на построенных линиях (на рис. 95, а − это точка К (К к, К1 )). На рис. 95, б теми же приемами построены точки пересечения сторон одного треугольного отсека с другим.

плоскости Т. Окружность основания в перспективе превращается в эллипс, который может быть построен по точкам. Для этого окружность основания заключают в квадрат (как показано на рис. 97). В перспективе эти построения выглядят следующим образом.

На основании картины задаем размер стороны квадрата, равный диаметру окружности. Этот отрезок А0 В0 симметричен относительно Р0 Р, что не является обязательным условием. Через точки А0 , В0 строим прямые, перпендикулярные картине (их точка схода – точка Р ).

101

Рис. 96

На произвольном расстоянии от основания картины задаём перспективу стороны квадрата А к В к, параллельную основанию картины. Для построения другой стороны квадрата – С кЕ к через точку В к стоим диагональ квадрата. Поскольку угол между диагональю и стороной квадрата равен 45о, то точкой схода диагонали будет дистанционная точка D. Точка С к получается как пересечение диагонали со стороной квадрата, идущей через точку А0 , А к (см. рис. 96). Сторона СЕ идет в перспективе через точку С к параллельно А кВ к. Таким образом получим точку Е к, диагональ А кЕ к и точку S к1 пересечения диагоналей. Через точку S k1 проходит ось симметрии конуса, перпендикулярная предметной плоскости. Для определения высоты конуса в перспективе перемещаем прямую − ось симметрии конуса − параллельно самой себе, по произвольному направлению, до совпадения оси конуса с картиной. На рис. 96 выбрано направление под углом 45о к картине, имеющее точку схода в точке D. Совмещенное положение с картиной оси конуса характеризуется вертикальной прямой с основанием S0 , (рис. 96). На этой прямой откладываем необходимую нам высоту конуса a и переносим прямую S0 , S в обратном направлении, как указано стрелкой на рис. 96, до пересечения с перспективой оси конуса в точке S k. Перспектива конуса теперь определена параметрами формы и положения. Остается построить окружность основания конуса в перспективе. Эллипс, являющийся перспективой этой окружности, можно построить по точкам касания окружности сторон квадрата АВСЕ и точкам её пересечения с диа-

102

гоналями этого квадрата (рис. 97). Точки касания со сторонами квадрата могут быть получены в перспективе построением прямых, проходящих через точку пересечения диагоналей квадрата, параллельных сторонам квадрата. Для построения точек пересечения окружности с диагоналями квадрата в перспективе рассмотрим вспомогательные построения на рис. 97. Рассмотрим треугольник NSB. Он является равнобедренным и прямоугольным. Гипотенуза SB является частью диагонали квадрата, описанного около окружности. Точка М пересечения окружности с диагональю

может быть получена вращением катета SN около точки S. Легко видеть, что точку М можно получить пропорциональным делением в том же отн о- шении катета NB. Для этого на NB, как на гипотенузе, строим вспомога-

тельный треугольник N S B, подобный треугольнику NSB. Вращением ка-

тета N S около точки N получаем деление отрезка NB в том же отношении, что и отрезка SB, переносим полученную точку с NB на SВ.

Повторим построение в перспективе (рис. 96). Для этого строим на отрезке Р0,В0 (либо на отрезке N kB k ) вспомогательный треугольник Р0 МВ0 и определяем точку М0. Через М0 проводим прямую в точку схода Р, определив искомые точки эллипса сразу на двух диагоналях. Остальные точки определяются в перспективе на прямых, параллельных сторонам квадрата. Через полученные восемь точек строим эллипс. Таким образом, перспектива конуса построена по его параметрам формы и положения. Кроме конуса на чертеже рис. 96 задана произвольная прямая l (l k, l k1 ). Построим на чертеже перспективы точки пересечения заданной прямой l с конусом. Будем действовать по обычному плану. Построим вспомогательную плос- кость-посредник через точки 1 и 2 прямой l и вершину S пирамиды. На чертеже перспективы это будут соответственно точки 1 к, 2 к и S к. Для по-

плоскости-посреднике. Пересечение этих образующих с прямой l к дают искомые точки К к и R к, которые являются перспективами этих точек.

103

позиции применения центрального вспомогательного проецирования. Поместим центр вспомогательного центрального проецирования в вершину конуса − точку S к (рис. 96). Центральной проекцией конуса из точки S к на предметную плоскость является перспектива его основания – эллипс.

тельной проекцией прямой l. Образующие конуса, построенные через точки 3 к1 , 4 к1 , дают возможность получить перспективы точек пересечения прямой l с конусом в точках К к и R к. Основание перспектив этих точек получаются так же, как и в случае применения первой схемы решения.

На рис. 98 решена задача построения квадрата, длина стороны которого задана и стороны которого не параллельны картинной плоскости. Квадрат находится в предметной плоскости. По содержанию эта задача сходна с задачей построения перспективы окружности, вписанной в квадрат, решение которой показано на рис. 96. Однако в последнем случае точки Р и D не могут быть точками схода сторон и диагонали квадрата. Эта метрическая задача, поэтому в геометрическую схему перспективы входит точка D. Напомним, что отрезок DР равен отрезку главного луча SР в пространстве.

Для построения точек схода сторон квадрата совместим луч SР с картиной. Для этого в точке Р восстановим перпендикуляр к линии h и отло-

жим на нем от точки Р отрезок Р S , равный отрезку РD. Теперь необходимо задать прямую, на которой будет лежать одна из сторон квадр ата. Эта прямая выбрана нами произвольно либо из конструктивных соображений и задана точкой 60 – её следом на картине и точкой схода F на горизонте. Теперь можно построить точку схода прямых, перпендикулярных

прямой 60 F. Для этого проведем прямую F S и в точке S , как вершине, построим прямой угол. Вторая его сторона пересечет прямую h в точке F ′, которая и будет искомой точкой схода прямых, перпендикулярных в перспективе прямым, идущим в точку F, в том числе и прямой 60 F. Теперь необходимо построить точку схода прямых, не искажающих длины отрезков, откладываемых по одной из сторон перспективы прямого угла. Выберем, например, сторону 60 F. Для получения искомой точки из точ-

ки F схода этой прямой, дугой окружности радиуса F S сделаем засечку в точке М на линии горизонта. Эта точка – искомая, она называется метрической точкой для горизонтальных прямых, имеющих точку схода F

104