§ 5. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды

Ряд вида , слагаемые которого,,...,,… являются функциями переменной, называетсяфункциональным рядом. Давая переменной определенные числовые значения, мы получим разные числовые ряды, некоторые из них могут оказаться сходящимися, другие - расходящимися. Целью исследования рядов из функций является нахождение значений, для которых числовой ряд является сходящимся. Совокупность всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называютобластью сходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси . Каждому значениюиз области сходимости функционального ряда соответствует определенное значение предела, являющееся функцией от. Его называют суммой функционального ряда и обозначают.

Ряд вида

, (5.1)

составленный из степенных функций (коэффициенты - действительные числа), называетсястепенным рядом. Именно такой вид функциональных рядов мы и будем рассматривать. Если , степенной ряд приобретает вид

. (5.2)

Заметим, что в точке степенной ряд (5.2) всегда сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда используется теорема Абеля. Если степенной ряд (5.2) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений, удовлетворяющих неравенству. Если же степенной ряд (5.2) расходится при, то он расходится и для всех значенийтаких, что.

Из теоремы Абеля вытекает, что всякая точка сходимости степенного ряда расположена не дальше от точки, чем всякая точка его расходимости. Поэтому существует интервал, для всех точек которого степенной ряд (5.2) сходится, а для всех:– расходится.

Интервал называетсяинтервалом сходимости степенного ряда (5.2), а число -радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости (т.е. при и) ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому концевые точки интервала сходимостиисследуются отдельно.

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формулилипри условии, что входящие в них пределы существуют.

Интервал сходимости рядов вида (5.1) симметричен относительно точки и описывается неравенствами.

Найдем, например, область сходимости степенного ряда . Выпишем коэффициентыи. Тогда

==.

Следовательно, ряд сходится, если . Осталось исследовать ряд в концевых точкахи.

При степенной ряд принимает вид. Это числовой знакоположительный ряд. Он расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости.

При степенной ряд принимает вид. Это числовой знакочередующийся ряд. Так как, то ряд расходится. Таким образом, область сходимости рядасовпадает с его интервалом сходимости:.

Для степенного ряда выпишем коэффициент. Радиус сходимости найдем по другой формуле:. Получили, что рядсходится только в одной точке. Она и является его областью сходимости.

Исследуем далее степенной ряд , который относится к виду (5.1). Выпишем коэффициентыи, найдем радиус сходимости

.

Здесь , следовательно, ряд сходится при, т.е. при. Осталось исследовать ряд в концевых точкахи.

При степенной ряд принимает вид

.

Это числовой знакоположительный ряд, который расходится, т.к. (необходимое условие сходимости не выполняется).

При степенной ряд принимает вид

.

Это числовой знакочередующийся ряд, который расходится по той же причине (). Тем самым, область сходимости заданного степенного ряда: .

Мы рассмотрели задачу нахождения области сходимости степенных рядов. При этом сумма всякого степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри его области сходимости. В связи с этим возникает обратная задача: для некоторой функции найти степенной ряд, сумма которого в области сходимости равна исходной функции. Такой ряд называетсяразложением функции в степенной ряд.

Для решения поставленной задачи потребуется формула Тейлора. Пусть функция имеет в некотором замкнутом отрезкенепрерывные производные до-го порядка включительно, а точканаходится внутри этого отрезка. Тогда для любогоиз интерваласправедливаформула Тейлора

где – остаточный член, который может быть записан в виде

(форма Лагранжа), причем число лежит междуи(его можно представить в виде), где.

Если в формуле Тейлора взять , то получим частный случай этой формулы –формулу Маклорена

Формулы Тейлора и Маклорена показывают, что функцию можно оценить многочленом-ой степени. Ошибка вычисления будет равна.

Пусть функция имеет в интервале , содержащем точку, производные любого порядка и, кроме того, для. Тогда функция может быть представлена рядом

(5.3)

который сходится, и его суммой будет функция . Представление функции в виде такого ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора.

При получим частный случай ряда Тейлора

, (5.4)

который называют рядом Маклорена.

Видим, что вопрос о разложении функции в ряд сводится к исследованию поведения остаточного члена при. В частности, остаточный членстремится к нулю, когда производные функции ограничены в совокупности в интервале , т.е. когда при каждом натуральноми каждомиз этого интервала выполняется неравенство, где- положительная постоянная.

Итак, для разложения функции в степенной ряд нужно сначала формально составить для нее ряд Тейлора. С этой целью вычисляют производные функции в точкеи подставляют их в разложение (5.3). Затем необходимо найти область сходимости полученного ряда и выяснить, для каких значенийиз этой области сходимости можно поставить знак равенства между функциейи ее рядом Тейлора.

Разложим, например, функцию в ряд Маклорена (по степеням). Найдем числовые значения производных функциив точке:

,

,

,

.

Отсюда легко установить закономерность образования производной -го порядка:,.

Подставляя теперь значения этих производных в ряд (5.4), получаем ряд Маклорена для функции :

=.

Находим область сходимости полученного ряда. Так как

=,

то ряд сходится для всех значений .

Выясним, для каких значений найденное разложение сходится к функции. С этой целью заметим, что ввиду справедливости неравенствапроизводные всех порядков функциина любом отрезке, ограничены одним и тем же числом:. Отсюда следует, что найденное разложение сходится к функциипри всех значениях, т.е..

Во многих случаях можно пользоваться готовыми рядами, составленными для элементарных функций. Основными табличными разложениями назовем следующие разложения:

, ;

, ;

;

=

,

(– любое действительное число). Ряд называетсябиномиальным.

Eсли положить изаменить на, то получим ряд, который является геометрической прогрессией

, ;

, ();

, ().

Например, чтобы разложить функцию в ряд Маклорена, используем табличное разложение синуса, полагая. Тогда=

=.

Так как разложение функции в ряд имеет место для всех , то и разложение функцииимеет место для всех.

Степенные ряды можно использовать для приближенных вычислений значений функции в точке. Для этого исходную функцию раскладывают в степенной ряд, сохраняя первые членов разложения, отбрасывая остальные. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов.

Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, состоящий из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка , где– первый из отброшенных членов ряда.

Вычислим, например, с точностью. Для этого используем готовое разложение функции в степенной ряд по степеням:.

Полагая в данном равенстве , получим

Определим, сколько членов ряда следует взять, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала заданного числа .

Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов ряда, следующих послев разложении:

,

или

Заменив каждый из сомножителей меньшей величиной, получим неравенство:

В скобке получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии. Запишем ее сумму по формуле

.

Тогда .

Далее подбором определяем, при каком натуральном значении будет выполняться неравенство. Полагая, к примеру,имеем. (нельзя сказать с уверенностью, что). Пусть далее. Тогда. Пусть, наконец,. Тогда, т.е.и можно принять. Следовательно,

=

Значит с точностью.

Заметим, что каждое слагаемое мы вычисляли с точностью до , чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей.

Вычислим далее с точностью. Используем готовое разложение функции в степенной ряд по степеням, взяв:

.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а потому допускаемая погрешность по абсолютной величине будет меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что . Поэтому можно отбросить это слагаемое и воспользоваться приближенным равенством

.

Тем самым, .

Степенные ряды применяют также для вычисления определенных интегралов. Если требуется вычислить определенный интеграла с заданной точностью, то подынтегральную функцию нужно разложить в ряд Маклорена, пользуясь готовыми разложениями функций,,,,,. Далее в области сходимости полученный ряд интегрируют почленно (для каждого слагаемого находят определенный иетеграл) если ряд явялется рядом Лейбница, отбрасывают все слагаемые, начиная с того, который по модулю меньше числа. Суммируя оставшиеся слагаемые, записываем ответ.

Вычислим, например, с точностью. Раскладываем подынтегральную функциюв ряд Маклорена, используя готовое разложение функции:

.

Получим

=

=.

Область сходимости полученного ряда – вся числовая ось. Далее находим первообразные функции для каждого из слагаемых этого степенного ряда

=

=.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Все члены полученного числового ряда, начиная с третьего, отбрасываем, поскольку третий член ряда равен и он меньше заданной точности. Окончательно получаем

.