§ 4. Числовые ряды

Пусть задана последовательность чисел . Если ее членысоединить знаками "+", то получится выражение вида , которое называют числовым рядом. Числа называютсячленами ряда, называетсяобщим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру его члена записать этот член ряда. Чаще всего ряд задается формулой общего члена.

Например, формула задает ряд, то есть выражение вида(4.1)

Подставляя в эту формулу конкретное натуральное число, можно записать любой член ряда:

при – 1-й член ряда (4.1);

при – 2-й член ряда (4.1);

при – 3-й член ряда (4.1) и т.д.

Аналогично, если задан ряд вида

, (4.2)

для которого - формула общего члена, поэтому

при – 1-й член ряда (4.2);

при – 2-й член ряда (4.2);

при – 3-й член ряда (4.2) и т.д.

Для ряда введем обозначения:

; ;; …,

и т.д.

Сумма называется-ой частичной суммой ряда .

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, а число называется суммой ряда. В этом случае пишут . Таким образом, символомобозначается не только сам ряд, но и (в случае сходимости) его сумма. Ряд называетсярасходящимся, если предел последовательности частичных сумм не существует или равен бесконечности.

Исследуем для примера числовой ряд . Составим частичную суммуэтого ряда. Здесь суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со знаменателеми первым членом. Из школьного курса математики известна формула суммыпервых членов геометрической прогрессии:. В нашем случае

.

Найдем предел последовательности частичных сумм

==–=.

Видим, что предел существует и конечен. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна. Записываем.

Рассмотрим числовой ряд . Для него частичная суммаимеет вид. Здесь суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со знаменателеми первым членом. Тогда

==.

Находим предел

==–=.

Следовательно, данный ряд расходится.

В процессе исследования числовых рядов бывает удобно пользоваться свойствами сходящихся рядов:

1. Если сходится ряд , то сходится и ряд, получаемый из данного ряда отбрасыванием первыхчленов (этот последний ряд называют-ым остатком исходного ряда) и наоборот – из сходимости-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

2. Если сходится ряд , и суммой его является число, то сходится и ряд, полученный из исходного умножением на ненулевое число, причем сумма последнего ряда равна.

3. Если сходятся ряды и , имеющие, соответственно, суммы и, то сходится и ряд, причем сумма последнего ряда равна+.

Основным вопросом при изучении числовых рядов является вопрос об их сходимости или расходимости. Формулу для - ой частичной суммы можно записать далеко не всегда, поэтому нужны утверждения, позволяющие решить этот вопрос. Начнем снеобходимого условия сходимости числового ряда:

Если числовой ряд . сходится, то предел его общего члена приравен нулю, т.е..

Действительно, если данный нам ряд сходится и, то. Поэтому

.

Например, для числового ряда

.

Видим, что необходимый признак не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Рассмотрим далее ряд . Для него необходимый признак сходимости выполняется, поскольку. С другой стороны,. Отсюда

.

Следовательно, при последовательность частичных сумм, а это означает, что рядрасходится.

Рассмотренный пример иллюстрирует важность понимания того, что необходимый признак не является достаточным – сходимости он не обеспечивает. Поэтому вопрос о сходимости числовых рядов, для которых необходимый признак сходимости выполнен, будем решать с помощью достаточных признаков сходимости. Этот вопрос проще всего решается для рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами =(1)

И =, (2)

где Признак сравнения 1. Если ряд сходится и выполняется неравенство, то рядтакже сходится; если рядрасходится и выполняется неравенство, то рядтакже расходится.

Сходимость или расходимость ряда с неотрицательными членами устанавливают сравнением исследуемого ряда с "эталонным" рядом, относительно которого заведомо известно, сходится он или нет.

В качестве "эталонных" рядов будем использовать следующие ряды:

Расходящиеся ряды

a) гармонический ряд

;

б) обобщенный гармонический ряд

, при ;

в) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

, при ;

Сходящиеся ряды

а) обобщенный гармонический ряд

, при ;

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

, при ;

Например, для ряда в качестве ряда сравнения выбираем ряд, составленный из членов геометрической прогрессии. Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии. Кроме того, справедливо неравенстводля всех. Следовательно, по первому признаку сравнения рядтоже сходится.

Сформулируем еще один признак сравнения (в предельной форме). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами =,=. Если существует конечный и отличный от нуля предел, то рядыи сходятся или расходятся одновременно.

Предельным признаком сравнения удобно пользоваться, если общий член некоторого числового ряда есть дробно-рациональная функция, т.е., где- многочлен степени, а- многочлен степени. При этом если, то в качестве ряда сравненияследует брать ряд, где.

Например, для исследования на сходимость ряда в качестве ряда сравнения выберем ряд. Он сходится, т.к.. Рассмотрим предел отношения

===

.

Согласно второму признаку сравнения получаем, что ряд сходится.

Для исследования рядов с положительными слагаемыми, общий член которых содержит либо показательное выражение вида , либо факториалудобно использоватьпризнак Даламбера. Пусть дан числовой, знакоположительный ряд , и пусть существует предел отношения. Тогда

если , то данный ряд сходится;

если или, то данный ряд расходится;

если , то признак Даламбера ответа не дает (ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся).

Исследуем по признаку Даламбера сходимость ряда . Здесь;. Находим предел отношения

=.

Так как , то рядсходится.

Далее исследуем на сходимость ряд .

Здесь ;.

Находим

=.

Так как , то по признаку Даламбера рядрасходится.

Поскольку признак Даламбера действует не всегда, нужны другие достаточные признаки для знакоположительных рядов. Рассмотрим радикальный признак Коши. Пусть дан числовой ряд (), и пусть существует конечный предел.

Тогда если , то данный ряд сходится;

если , то данный ряд расходится;

если , то признак Коши ответа не дает.

Рассмотри, например, ряд . Запишем общий член ряда в виде. Легко проверить получение любого члена данного нам ряда, полагая:

;

;

и т.д.

Найдем

.

Так как , то по признаку Коши рядсходится.

Еще один достаточный признак сходимости знакоположительных рядов – это интегральный признак Коши. Пусть члены числового ряда удовлетворяют следующим условиям:

1) они неотрицательны () и не возрастают, т.е.

;

2) найдется непрерывная невозрастающая функция , определен-ная прии такая, что,,,...

Тогда если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ; если несобственный интегралрасходится, то расходится и ряд .

Сразу же поясним, что функцию , принимающую в точках значения , чаще всего удается получить с помощью замены натуральногов выражениина непрерывно изменяющийся аргумент. Так, например, если, то; если, тои т.п.

Однако не всегда таким путем можно получить функцию . Допустим, что. В этом случае нельзя заменитьна, т.к. символимеет смысл только при целых значениях. Но это не означает, что не существует функции, принимающей в точкахзначения. Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение бывает трудно найти.

Исследуем для примера сходимость ряда . Для этого рассмотрим функцию . Пусть. Вычислим несобственный интеграл

.

Отсюда следует, что если, то интегралсходится; если, то интегралрасходится. Приполучаем– интеграл расходится. Тем самым интегральный признак Коши дает возможность обосновать утверждение относительно обобщенного гармонического ряда, который мы ранее определили в качестве эталонного: он сходится при и расходится при .

Сходимость ряда легко установить с помощью второго признака сравнения. Однако в качестве примера исследуем его с использованием интегрального признака. Для этого рассмотрим несобственный интеграл и вычислим его:

.

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд .

При исследовании на сходимость ряда применение признаков сравнения, радикального признака Коши и признака Даламбера не дает ответа на вопрос. Попробуем воспользоваться интегральным призраком Коши. Так как , то функцией, принимающей в точкахзначения, будет функция. Она непрерывна дляи монотонно убывает. Вычислим несобственный интеграл

.

Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд .

Приступим к исследованию на сходимость числовых рядов, члены которых имеют произвольный знак. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды.

Ряд , в котором все- числа одного знака, называется знакочередующимся.

Для знакочередующихся рядов различают два типа сходимости – абсолютную и условную. Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если ряд , составленный из модулей его членов, сходится.

Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся, т.е. из сходимости ряда следует сходимость ряда. Обратное утверждение неверно.

Ряд называетсяусловно сходящимся, если сам он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.

При исследовании на сходимость знакочередующегося ряда надо ответить не только на вопрос, сходится он или расходится, но и выяснить, как он сходится – условно или абсолютно.

Для знакочередующихся рядов справедлив признак Лейбница (достаточный признак сходимости): если для знакочередующегося числового ряда выполняются два условия:

1) и

2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

, то

ряд сходится; а его сумма положительна и меньше первого члена, т.е.

.

Отметим важные свойства абсолютной и условной сходимости. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов. Если ряд сходится условно, то, какое бы число мы заранее ни взяли, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося после перестановки ряда окажется равной.

Если ряд сходится, то при вычислении его суммыможно заменять, где–-я частичная сумма ряда. Разностьназывают остатком ряда. Поскольку остатоксам является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим всем условиям теоремы Лейбница, он сходится и, т.е. погрешность заменынаменьше первого отброшенного слагаемого.

Исследуем, например, ряд

.

Проверим, выполняется ли признак Лейбница. Для этого

1. находим предел общего члена ряда , видим, что первое условие выполнено;

2. проверяем второе условие признака Лейбница: , т.е. члены данного нам ряда монотонно убывают по модулю. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняется и, следовательно, рядсходится.

Выясняем теперь, как сходится ряд - условно или абсолютно. Для этого рассматриваем ряд, составленный из модулей членов нашего ряда:. Здесь,.

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислив

.

Так как , то рядсходится. Следовательно, исходный знакочередующийся рядсходится абсолютно.

Рассмотрим ряд . Применим к нему признак Лейбница:

1) ;

2) - члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Однако он сходится лишь условно, т.к. ряд , составленный из его модулей, расходится (это гармонический ряд).