§3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Методика решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений базируется на теореме о том, что общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения, то есть . Поскольку алгоритм нахождения общего решения однородных уравнений был изложен, остается рассмотреть способ получения второго слагаемого - частного решения .

Будем рассматривать правую часть уравнения(2.2)в специальном виде

или ,

где –заданный многочлен степени . Назовем параметром таких функций комплексное число.

Прежде чем решать неоднородное уравнение со специальной правой частью, нужно сравнить параметр функции из правой части с корнями характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению. Для описания этого совпадения введем число . Если параметрне совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то считаем. При совпадениис корнем характеристического уравнения считаем равным кратности совпавшего корня в характеристическом уравнении (для уравнений второго порядка кратность может принимать значения или ).

Далее в зависимости от степени многочлена и конкретного значения параметра функции в правой части неоднородного уравнения, можно записать вид, который имеет частное решение .

Начнем с рассмотрения функции (параметр имеет действительное значение, поскольку ). В этом случае , то есть частное решение ищут в виде функции специального вида с тем же параметром и той же степени, что и в правой части, умножая ее на . При этом, как отмечалось, возможны три варианта: , или . Конкретные числовые значения коэффициентов многочлена необходимо определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.

Рассмотрим, например, неоднородное уравнение

.

Функция в его правой части имеет степень и параметр , не совпадающий с корнямии характеристического уравнения, то есть . Поэтому частное решение такого уравнения имеет вид. Для определения числового значения коэффициентов и найдем производные функции указанного вида , и подставим в уравнение:

.

Полученное после сокращений равенство обратится в тождество, если приравнять коэффициенты при соответствующих степенях переменной в его обеих частях: и . Тем самым, и дают нужные значения коэффициентов для частного решения: . С учетом найденного ранее общего решения однородного уравнения, получаем .

Если изменить правую часть уравнения:

,

то степень функции будет , а параметр совпадет с одним из корней характеристического уравнения, то есть . Частное решение следует искать теперь в виде. Находим производные и . Подставим их в уравнение:

.

Равенство обращается в тождество, если , следовательно, и .

Для неоднородного уравнения

функция степени имеет параметр , совпадающий с двукратным корнем характеристического уравнения, поэтому здесь. Частное решение в этом случае приобретает вид. Производные и подставим в уравнение:

.

Равенство обращается в тождество, если , следовательно, и .

В случае комплексного значения параметра функции специального вида () частное решение неоднородного уравнения ищут в виде. Здесь и-многочлены той же степени , что и в правой части, - кратность совпавшего с параметром корня в характеристическом уравнении. Важно иметь в виду, что вид решения в этом случае всегда содержит обе тригонометрические функции – и , и , каждая из которых умножается на многочлен со своими коэффициентами. Коэффициенты многочленов снова нужно определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.

В качестве примера рассмотрим уравнение (2.1), описывающее вынужденные колебания в случае, если на систему воздействует периодическая внешняя сила, имеющая синусоидальный характер:

.

В отсутствии сопротивления уравнение упрощается:

. (3.1)

Свободные колебания были уже рассмотрены, необходимо теперь записать вид частного решения неоднородного уравнения. Параметр функции в правой части , степень. Если частота вынуждающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний (), то. После дифференцирования и подстановки такой функции в уравнение (3.1) получим значения коэффициентов и . Тем самым, .

Общее же решение уравнения вынужденных колебаний в среде без сопротивления является наложением двух гармонических колебаний с разными частотами:

. (3.2)

При совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний () движение описывается уравнением

, (3.3)

а частное решение имеет вид . Подставляя такую функцию в уравнение (3.3), получим и . Видим, что частное решение описывает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Общее решение тогда является наложением этих колебаний и обычных гармонических колебаний:

.

Таким образом, если в среде без сопротивления частота возмущающей силы совпадает с часто­той собственных колебаний, то амплитуда вынужден­ных колебаний может стать неогра­ниченно большой даже тогда, когда невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших ампли­туд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Если учитывать сопротивление среды, то при совпадении частот явление резонанса проявляется в более «мягком» виде.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. При близости частот и амплитуда решения (3.2) для вынужденного колебания может быть очень большой, хотя и ограниченной.

Возможностью создания колебаний со значительной ампли­тудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, во многих слу­чаях появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).