§ 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Начнём с задачи из механики. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы по оси . Отклонение точки от положения равновесия будем определять функцией . Пусть движение происходит под действием трёх сил: силы, притягивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось , равную , силы сопротивления среды, которую считаем пропорциональной первой степени скорости и возмущающей силы, направленной по оси и равной в момент времени.

Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим

.

Разделим обе части уравнения на и после введения новых обозначений , и приведем его к виду

_{. (2.1)}

Полученное уравнение относится к классу так называемых линейных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих вид

. (2.2)

В них неизвестная функция и ее производные входят линейно. В качестве коэффициентов уравнения имогут рассматриваться любые функции, непрерывные в интервале. При этих условиях существует единственное решение уравнения (2.2), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю:

, (2.3)

то оно называется однородным, в противном случае (если ) –неоднородным.

Уравнение вида (2.2) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов, то есть процессов, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника или груза на пружине изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако они описываются сходными характеристиками и уравнениями одинакового типа. Математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

Методика решений рассматриваемых уравнений базируется на следующем утверждении. Если и – два каких-либо непропорциональных друг другу решения уравнения (2.3), т.е. , тообщее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

,

где – произвольные постоянные. Следовательно, два любых непропорциональных решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка формируют его общее решение. Однако нет общего метода отыскания функций и. Их легко найти в случае, когда коэффициенты уравнения (2.3) являются числами. Обозначим их и :

. (2.4)

Такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решения ищут в виде функций . Рассмотрим, например, уравнение

.

Подставив в него функцию , а также ее производныеи, получим. Поскольку, функциябудет решением, если– корень квадратного уравнения

,

которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения. Его корни и, поэтому непропорциональные функциии формируют общее решение этого уравнения . В общем виде характеристическое уравнение дифференциального уравнения (2.4) имеет вид

. (2.5)

Если , то уравнение (2.5) имеет два различных действительных корняи, которые определяются формулой

.

При этом непропорциональные решения уравнения иформируют общее решение уравнения (2.4) в виде

.

Рассмотрим дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня(в таком случае говорят, что– корень кратности два). Одно из решений в этом случае нам известно:. Непосредственной подстановкой в уравнение можно убедиться, что функциятакже будет решением этого уравнения. Поскольку полученные функции непропорциональны, общее решение дифференциального уравнения получается в виде.

В целом можно сказать, что если выполняется условие , то характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень, а общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные корни , то можно убедиться, что функциииобразуют пару непропорциональных решений уравнения (2.4), а его общее решение имеет вид

.

Такая ситуация возникает, если , при этом,.

Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнениеимеет комплексные корни, а общее решение, тем самым, приобретает вид. Для уравнениятакже составим характеристическое уравнение:. Его комплексные корни позволяют записать общее решение дифференциального уравнения в виде .

Вернёмся теперь к механическим колебаниям. Отсутствию возмущающей силы соответствует уравнение (2.1), в котором :

. (2.6)

Такое уравнение называется уравнением свободных колебаний. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

. (2.7)

Свободные колебания в среде без сопротивления описываются уравнением . В этом случае характеристическое уравнение имеет мнимые корни , ему соответствует общее решение

Удобно привести записанное решение к другой форме, введя новые обозначения. Умножив и разделив на , получим

Если положить

,

то общее решение приобретает вид

.

Оно описывает движение, которое называют гармоническим колебанием. Его график имеет вид:

Величину называют амплитудой колебания, аргу­мент — фазой колебания, величину - начальной фазой колебания. Величина представляет собойчастоту колебания. Напомним, что .Период коле­бания и частота k зависят только от массы системы и силы, притягивающей точку к началу координат. В задаче о движении тела, подвешенного на пружине, это означает зависимость от жесткости пружины.

Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются уравнением (2.6). Если , то характеристическое уравнение (2.7) имеет два различных действительных корня. В модели движения груза на пружинке указанное условие означает, что сила сопротивления среды больше силы упругости пружины. Общее решение дифференциального уравнения в этом случае описывает апериодическое движение. Поскольку корни характеристического уравнения отрицательны, то с ростом координата стремится к нулю.

Характеристическое уравнение (2.7) имеет кратный корень , если, то есть. Для задачи о движении груза на пружине это означает, что сила сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле указанного равенства. Общее решение приобретает вид. При малых значениях основную «роль» играет первый множитель, линейный относительно, а затем с увеличениемматериальная точка будет стремиться к положению равновесия.

Если же (то есть - упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды в задаче о грузе на пружине), то характеристическое уравнение (2.7) имеет комплексные корни .

Общее решение

_{описывает затухающие гармонические колебания с периодом} , частотойи амплитудой , убывающей с увеличением. Вид графика решения:

Проанализировав полученные результаты, можно сказать, что наличие сопротивления видоизменяет характер колебаний: пока сопротивление сравнительно невелико , движения остаются периодическими, затухая с увеличением , при большом сопротивлении среды движения становятся апериодическими.