2. Бета-функция

Эйлером предложен также несобственный интеграл

(3)

как функция параметров , которую называютбета-функцией. Представим интеграл (3) в виде суммы двух слагаемых

,

где имеет особенность только в точке, а- только в точке.

Поскольку для любого функцияположительна, непрерывна и ограничена на отрезке, то существуют постоянные, чтодля всехи всех. Поэтому, как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что интегралсходится для всехтолько при.

Аналогично, функция положительна, непрерывна и ограничена на отрезкедля любого, и, следовательно, существуют, чтодля всехи всех.

Поэтому несобственный интеграл сходится для каждоготолько при.

Окончательно, бета-функция определена только дляи.

Совершая в интеграле (3) замену переменной интегрирования , получим

. (4)

Формула (4) указывает на свойство симметричности бета-функции Эйлера.

Интегрируя в (3) по частям и используя разложение , получим

откуда

(5)

В силу симметричности функции имеем также

(5’)

Формулы (5) и (5’) называют функциональными уравнениями для бета-функции.

Если то согласно (5)

Но

Так что

(6)

Если то (6) принимает вид

Так как то мы доказали частный случай

замечательной формулы Эйлера

Гамма-функция и бета-функция, как и экспоненциальная функция, играют фундаментальную роль в математике и её приложениях.

Сформулируем без доказательств несколько важных свойств этих функций.

Для любого, выполняется равенство, называемое формулой дополнения. Из этого, в частности, следует, что

и, следовательно, .

Бета-функция допускает ещё представление в виде интеграла

Часто используется интеграл (Вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведём его к значениям эйлеровых интегралов:

3. Формула Стирлинга

К настоящему моменту времени свойства гамма-функции изучены достаточно глубоко. В частности, для неё доказано следующее асимпототическое представление

(7)

называемое формулой Стирлинга. Для натуральных , когда, формула (7) после несложных преобразований принимает вид

где