§2. Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции, а числа, то

.

Иными словами, интеграл - линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на объединении квадрируемых множеств, то

,

причем если площадь пересечения равна 0, то . (Аддитивность интеграла по множеству).

Свойство 3. Если - интегрируемая на квадрируемом множестве функция и ,то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на квадрируемом множестве функция , причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на квадрируемом множестве функция , то функция – также интегрируемая, причем где т, М ограничивающие множество значений функции числа, то выполняются неравенства ,

т.е. существует число , удовлетворяющее неравенствам для которого

.

Если, кроме того, множество – связное* и - непрерывна на нём, то существует точка , для которой

.

Доказывать эти свойства мы не будем, поскольку их доказательства вполне аналогичны доказательствам свойств обычного интеграла.

В конце п.1.2. отмечено, что если -непрерывная на множестве функция, то - интегрируема на . Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа спрямляемых линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям(на которых непрерывна и, значит, интегрируема).

*Примечание. Связным множеством на плоскости назовем такое множество, любые две точки которого можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве.

3. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному интегралу

Двойной интеграл – новый объект и мы укажем способ его вычисления сведением к повторному вычислению определённого интеграла. Сначала рассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области стороны которой параллельны осям координат.

Теорема 1.3. Пусть для функции существует двойной интегралпо области. Кроме того, пусть для любогосуществует.

Тогда существует и интеграл, называемый повторным:

и выполняется равенство

(2)

►Разобьём прямоугольник на прямоугольники, обозначенные, прямыми, проходящими параллельно осичерез точкии прямыми, параллельными осии проходящими через точкиТаким образом,

Пусть , числаи, соответственно, равны нижней и верхней граням функциинаоткудаПроинтегрируем эти неравенства пона отрезках:

Суммируя эти неравенства по отдо, получаем

Умножим все части этих неравенств на и суммируем полученные неравенства поотдо:

.

Поскольку, эти неравенства можно переписать в виде

или

,

где – разбиениена прямоугольникиПристремится к нулю и величина. Кроме того, притакже. Значит, интегралсуществует и равен, что и утверждалось. ◄

Замечания.

1. В случае, когда непрерывна навсе условия теоремы выполняются и равенство (2) справедливо.

2. Отметим, что интеграл представляет собой собственный интеграл, зависящий от параметра.

Рассмотрим случай криволинейной трапеции. Справедлива такая теорема:

Теорема 1.4 (Фубини). Пусть область задана неравенствами , где. Пусть существуети для любогосуществует. Тогда существует интеграли он равен.

►Так как непрерывна на, существует её минимальное значениена этом отрезке. Аналогично, существует максимальное значениефункциина отрезкев прямоугольник, состоящий из точек,,. На этом прямоугольнике рассмотрим функцию

Условия предыдущей теоремы для функции выполнены. Она интегрируема в, равна 0 (и, значит, интегрируема) в. Следовательно, она интегрируема на всём множестве. При этом

.

Наконец, для любого выполнено равенство

.

По доказанному в предыдущей теореме,

,

откуда сразу получаем:

,

что и требовалось доказать.◄

Следствие: Пусть ) непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , где , a по бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда

.

►Из непрерывности сразу следует её интегрируемость на. Кроме того, для любогофункциянепрерывна (а, значит, интегрируема поу). Все условия теоремы выполнены. ◄

Замечание. Если область можно ограничить так:,, то

.

Смысл этих теорем ясен – указан способ сведения двойного интеграла к собственным интегралам, зависящим от параметра.