§15.6. Теоремы о среднем значении

Теорема 15.17. (Теорема о среднем значении). Пусть интегрируема на . Пусть при выполнены неравенства . Тогда

Тогда существует число , удовлетворяющее неравенствам такое, что

.

Если, кроме того, , то существует такое, что . т. е.

.

► Из теоремы 15.15 и того, что для любой постоянной выполнено равенство , следуют неравенства

.

Из них сразу получаем, что

.

Обозначив , получаем требуемое утверждение.

Если же , то она принимает все свои промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями на отрезке .

При этом, по доказанному,

,.

Как отмечено выше, число является значением функции ,т.е. и

.◄

Теорема. 15.18.(Обобщённая теорема о среднем значении). Пусть:

1. –интегрируемы на;

2. ;

3. не меняет знак на.

Тогда существует , удовлетворяющее неравенствам такое, что

= .

Если, при этом, , то существует такое, что .

►Пусть, для определенности, на .

Тогда и

. (26)

По теореме 15.14,  0. Если оказалось, что , то из (26) следует, что =0 и теорема справедлива при любом значении . Если же ,то разделив на это число все части неравенств (26), получим, что

,

откуда, при получаем утверждение теоремы. Если, при этом,, то, как и в теореме 15.17, существуеттакое, что. ◄

§15.7. Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть интегрируема на. Тогда, по свойству аддитивности интеграла,интегрируема напри любом.

Определение. Рассмотрим функцию

(27)

Эта функция называется определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 15.19. Если – интегрируема на, то.

► Достаточно доказать, что при приращение(при этом предполагается, что). По определению (27),

согласно теореме о среднем (при этом , где,). Приочевидно,и теорема доказана.◄

Теорема 15.20. Пусть интегрируема наи непрерывна в точке. Тогдаимеет производную в точке, причём.

►

По условию, непрерывна в точке, следовательно,,

как только . Но. Значит, при

,

что как раз и означает, что .◄

Определение. Если для всех справедливо равенство_, то называетсяпервообразной функцией для функциина.

Можно рассматривать первообразную и на отрезке , тогда в точкедолжно выполнятся равенство, а в точке– равенство.

Следствие. Если, то(т.е.–первообразная для ). Иными словами, непрерывная функция имеет первообразную.

Замечание. Дадим графическую интерпретацию теоремы.

Площадь под графиком равна , а производная равна .

Замечание. Что будет, если функция не непрерывна? Пример ,

показывает, что (т. к. ), т.е.,

поэтому в случае точки разрыва утверждение теоремы может оказаться неверным. В этом случае производная функции существует, но не равна _.

_{Рассмотрим ещё пример}

В этом случае производная функции в точке не существует, однако существуют

§15.8. Основная формула интегрального исчисления (Формула Ньютона-Лейбница)

15.8.1. Основная формула интегрального исчисления

Теорема15.21. (Формула Ньютона-Лейбница). Если , то для любой первообразнойимеет место равенство.

►По следствию теоремы 15.20, первообразная существует. Если– любая другая первообразная, то существуеттакая, что, т.е.. Тогда, что и требовалось доказать.◄

Замечание. Разность часто обозначают .