§15.2. Определение интеграла и необходимое условие его существования

15.2.1Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)

Определение. Точки задаютразбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой.

Обозначим

Определение. Наибольшее из чисел называетсядиаметром разбиения и обозначается

Определение. Если произвольным образом выбрать точки то получитсяразбиение с отмеченными точками

Иногда, для краткости, будем обозначать набор точек символом

Перейдем к основным определениям.

Определение. Пусть функция определена на отрезке, и пусть задано разбиениеэтого отрезка с отмеченными точкамиИнтегральной суммой называется величина .

Для обозначения интегральной суммы будем использовать символ , или просто.

Д

ля неотрицательной функцииинтегральная суммапредставляет собой просто площадь ступенчатого многоугольника, составленного из прямоугольников с основаниями, имеющих высоты, равные.

Определение. Пусть существует число такое, что для любогосуществует числотакое, что для любого разбиенияотрезка, удовлетворяющего условию, и для любого выбора точеквыполняется неравенство

Тогда функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на отрезке ,(что часто обозначают так:) а число называется ееинтегралом по отрезку . Интеграл обозначается символом

15.2.2.Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема 15.2. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на.

►Возьмем в определении интеграла = 1 и рассмотрим соответствующее ему. Пусть– любое разбиение, удовлетворяющее условию .

Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех , = 1,…, функция ограничена на отрезке, т.е.. Действительно, тогда для имеем при : , т.к.входит в некоторый отрезоки, значит |.

Выберем любое , = 1,…, и представим интегральную сумму в виде

(1)

Зафиксируем произвольным образом числа,…,,,…,выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквойK. Таким образом, при любом

(2)

По условию, функция интегрируема, значит ||<1, т.е. –1<<1, или.

Откуда, учитывая (2),

,

, (3)

Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от _. Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.◄

§15.3. Критерий интегрируемости

15.3.1. Определение сумм Дарбу

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют так называемые суммы Дарбу (Г. Дарбу (18421917)).

По доказанной теореме 15.2 функция ограничена наи, следовательно, для любого разбиенияотрезка она ограничена на всех отрезках (т.е. множество её значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим  точную верхнюю грань, а  точную нижнюю грань множества значений функции на

Определение. Числа и называются, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу функции для разбиенияна отрезке.

Теорема 15.3. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении и всевозможных выборах точек.

►Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичные.

Во-первых, для любого и для любой точки имеет место неравенство (по определению). Значит,

, . (4)

Суммируя неравенства (4) по всем получаем

.

Таким образом,— верхняя грань множествапо всевозможным выборам.

Осталось доказать, что — точная верхняя грань этого множества. Для этого возьмем произвольноеПоскольку— точная верхняя грань множества значенийна отрезке, , существует точка такая, что ,и

, . (5)

Суммируя неравенства (5) по получаем, что

,

т.к. (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки, что, что как раз и означает, что, где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.◄

Замечание. Очевидны неравенства: .

Дадим графическую иллюстрацию введённых понятий.

Заметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого — верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек — это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.