Формулировка

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то  — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

[Править]Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

[Править]Доказательство

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков , поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что  — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и , принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров , начиная с некоторого будет выполняться неравенство

Взяв в этом неравенстве , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.

[Править]Лемма о вложенных отрезках и полнота (непрерывность) поля вещественных чисел

Основная статья: Непрерывность множества действительных чисел

Лемма о вложенных отрезках тесно связана с непрерывностью (полнотой) поля вещественных чисел. Так, вышеприведенное доказательство леммы существенно опиралось нааксиому непрерывности. Можно показать, что если упорядоченное поле не является непрерывным, то принцип вложенных отрезков может не иметь места. Например, если взять полерациональных чисел, которое не является непрерывным, и рассмотреть последовательность вложенных отрезков

концы которых — суть десятичные приближения иррационального числа с недостатком и избытком соответственно с точностью , то окажется, что у этой системы вложенных отрезков нет общей точки.

Более того, можно показать, что принцип вложенных отрезков является одной из эквивалентных формулировок непрерывности поля (и поэтому его называют принципом непрерывности по Кантору). Точнее, имеет место следующее предложение^[2]. Для всякого архимедова упорядоченного поля из принципа вложенных отрезков вытекает непрерывность этого поля.

8.Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега)

о покрытии: пусть А - ограниченнее замкнутое множество в Rⁿ и G его открытое покрытие, т;, е: еистема открытых множеств, объединение к-рых включает А; тогда существует конечная подсистема множеств , из G(подпокрытие), также являющаяся покрытием А , т. е. . Б. -Л. т. обратима: если и из любого открытого покрытия Аможно выделить конечное подпокрытие, то Азамкнуто и ограничено. Возможность выделения конечного подпокрытия из любого открытого покрытия йножества Ачасто принимается за определение множества Акак компакта. В такой терминологии Б. -Л. т. вместе с обратной принимает вид: чтобы множество ' было компактом, необходимо и достаточно, чтобы Абыло ограниченным и замкнутым. Б.- Л. т. была в 1898 доказана Э. Борелем (см. [1]) в случае, когда Аесть отрезок п Gесть система интервалов, окончательную форму получила в 1900-10 в работах А. Лебега (см. [2]). Б.- Л. т. называют иногда также леммой. Бореля, леммой Гейне - Бореля, теоремой Гейне - Бореля.

9.Лемма о предельной точке

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности (), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.

10.Числовые последовательности.