1. Информация о дисциплине

0. 1.1. Предисловие

Дисциплина «Математика, часть 1» в третьем семестре изучается студентами всех форм обучения, всех специальностей, кроме специальностей укрупненной группы направления 080000 – Экономика и управление.

В данном методическом комплексе рассмотрен материал по следующей тематике: «Дифференциальные уравнения», «Ряды», «Кратные интегралы и векторный анализ».

Целью изучения дисциплины является привитие студентам навыков математического мышления, использование математических методов и основ математического моделирования.

Задачи изучения дисциплины – усвоение студентами базовых знаний, дающих возможность осуществлять математическую формулировку любых технических, физических или социально-экономических задач и умение применять математический аппарат для решения конкретных задач.

В результате изучения дисциплины студент должен овладеть основами знаний по дисциплине, формируемыми на нескольких уровнях:

Иметь представление:

- о целях и областях применения математики.

Знать:

- основные понятия и определения курса;

- способы взятия интегралов;

- методы исследования числовых и функциональных рядов;

- методы решения дифференциальных уравнений.

Уметь применять эти знания для решения прикладных задач:

- исследование функций;

- нахождение физико-геометрических характеристик различных величин;

- исследование протекания физического явления во времени.

Владеть:

-умением осуществлять математическую постановку задач, решаемых в различных областях науки, техники, экономики и маркетинга;

- методами решения поставленных задач.

Место дисциплины в учебном процессе:

Курс «Математика, часть 1» является фундаментом для изучения естественно-научных и социально-экономических дисциплин, и также применяется в курсовом и дипломном проектировании.

0. 1 .2. Содержание дисциплины и виды учебной работы Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов
	форма обучения
	очная	очно-заочная	заочная
Общая трудоемкость дисциплины (ОТД)	144
Работа под руководством преподавателя(включая ДОТ)	86	86	86
В том числе аудиторные занятия: лекции практические занятия (ПЗ)	44 24	12 24	6 12
Самостоятельная работа студента (СР)	58	58	58
Промежуточный контроль, количество	12	14	14
в том числе: контрольная работа		2	2
Вид итогового контроля	экзамен

Перечень видов практических занятий и контроля

- две контрольные работы (для очно-заочной и заочной форм обучения);

- практические занятия;

- 12 тестов (по темам);

- экзамен.

2. Рабочие учебные материалы

2.1. Рабочая программа (объем 144 часа)

Введение (2 часа)

[1], с.4...5; [5], с.3...4

Предмет и задачи дисциплины. Основные этапы развития математики. Ее роль в учебном процессе, научных исследованиях и промышленном производстве.

Раздел 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (22 часа)

[1], с.4-21; [5],c.501-529; [6], c.117-138

1.1. Основные понятия

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

1.2. Основные типы уравнений первого порядка

Основные типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные первого порядка, линейные относительно неизвестной функции.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков (28 часов)

[1], с.22-49; [5], с.530-567; [6], c.138-160

2.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка

Основные понятия. Решения дифференциального уравнения -го порядка. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Общее решение. Уравнения, допускающие понижение порядка: 1), 2) , 3) .

2.2. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Линейные дифференциальные уравнения -го порядка, однородные и неоднородные. Свойства решений линейного однородного уравнения. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

2.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения однородного линейного дифференциального уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Раздел 3. Системы обыкновенных дифференциальных

уравнений (24 часа)

[1], с.22-49; [5], с.574-580; [6], c.166-176

3.1. Основные понятия

Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения, фазовое пространство. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однородная линейная и неоднородная линейная системы дифференциальных уравнений. Характеристическое уравнение системы. Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений в случае различных вещественных корней характеристического уравнения.

3.3. Элементы теории устойчивости

Невозмущенное и возмущенное решения (движения). Фазовая плоскость. Устойчивое и неустойчивое движения (по Ляпунову). Асимптотическое устойчивое решение. Автономные и неавтономные динамические системы. Исследование устойчивости нулевого решения системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Знакопостоянная и знакоопределенная функции. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Предельные циклы.

Раздел 4. Основы вариационного исчисления и оптимального управления (8 часов)

[ 1], с. 65-85; [6], c.385-397

4.1. Основы вариационного исчисления

Основная задача вариационного исчисления. Функционал. Экстремум функционала. Уравнение Эйлера. Экстремали.

4.2. Основы оптимального управления

Фазовое пространство, фазовый вектор. Вектор управления .Допустимое управление. Принцип максимума Понтрягина. Функция Гамильтона.

Раздел 5. Числовые и функциональные ряды (28 часов)

[2], с.4-43; [5], с. 659-677; [6], c.66-90

5.1. Числовые ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки Даламбера, интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

5.2. Функциональные ряды

Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения. Степенные ряды. Разложения функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Раздел 6. Двойные и криволинейные интегралы (30 часов)

[3], с.3-5,10-13; [5], с.581-606,617-625; [6], c.6-22, 42-56

6.1. Двойные интегралы

Определение двойного интеграла, его геометрическая и физическая интерпретация; свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Замена переменных в двойном интеграле, переход к полярным координатам. Применение двойных интегралов.

6.2. Криволинейные интегралы первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода. Его физический смысл; свойства. Вычисления криволинейных интегралов первого рода.

6.3. Криволинейные интегралы второго рода

Определение криволинейного интеграла второго рода. Его физический смысл; свойства. Вычисления криволинейных интегралов второго рода. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути интегрирования.

Заключение (2 часа)

Изложенный учебный материал послужит основой для изучения не только последующих разделов математики, но и остальных технических дисциплин.

2.2. Тематический план дисциплины

Тематический план дисциплины

для студентов очной формы обучения

№ п/п	Название раздела, темы	Количество часов по очной форме обучения	Виды занятий и контроля
			лекции		ПЗ		Самостоятельная работа	№ теста	№ ПЗ
			Ауд.	ДОТ	Ауд.	ДОТ
ВСЕГО		144	44		24	18	58	12	10
1	Введение. Обыкновенные дифференциальные уравнения	24					8
1.1	Основные понятия		2					1
1.2	Основные типы уравнений первого порядка		12		2			2	1
2	Дифференциальные уравнения высших порядков	28					10
2.1	Основные понятия. Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка		4		2	2		3	2
2.2	Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных		4		2			4	3
2.3	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами		2		2			5	4
3	Системы обыкновенных дифференциальных уравнений	24					16
3.1	Основные понятия		2
3.2	Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами		2			2		6	5
3.3	Элементы теории устойчивости		2
4	Основы вариационного исчисления и оптимального управления	8					4	7
4.1	Основы вариационного исчисления		2
4.2	Основы оптимального управления		2
5	Числовые и функциональные ряды	28					12
5.1	Числовые ряды		4		2	4		8	6
5.2	Функциональные ряды		2		2	2		9	7
6	Двойные и криволинейные интегралы	32					8
6.1	Двойные интегралы		2		4	4		10	8
6.2	Криволинейные интегралы первого рода		2		4	2		11	9
6.3	Криволинейные интегралы второго рода. Заключение				4	2		12	10