Решение задач

Задача 5.1. Показать, что предлагаемый ниже ряд расходится.

.

Решение. Действительно, предел общего члена этого ряда не равен нулю:

т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Задача 5.2. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Сравним его с рядом:

,

который расходится, так как является гармоническим рядом. Для общих членов этих двух рядов имеем следующее соотношение

.

Так как гармонический ряд расходится, то по первому признаку сравнения расходится и рассматриваемый ряд.

Задача 5.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся вторым признаком сравнения рядов. Для этого наряду с исходным рядом рассмотрим ряд , общий член которогоявляется членом геометрической прогрессии со знаменателем.

Вычислим предел отношения общих членов этих рядов

.

Так как предел отношения общих членов рассмотренных рядов конечен, отличен от нуля, а ряд сравнения сходится, то, в соответствии со вторым признаком сравнения, сходится и данный ряд.

Задача 5.4. Исследовать сходимость ряда

Решение. В данном случае , поэтому рассмотрим функцию. Функциянепрерывна, положительна и монотонно убывает на промежуткеЭто позволяет воспользоваться интегральным признаком Коши. Вычислим несобственный интеграл:

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и данный ряд.

Задача 5.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Вычислим отношение последующего члена к предыдущему:

.

В соответствии с признаком Даламбера, найдем предел этого отношения:

.

Этот предел меньше единицы, поэтому делаем вывод, что данный ряд сходится.

Задача 5.6. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Используем признак Даламбера. Здесь

,

Найденный предел превосходит единицу, следовательно, рассмотренный ряд расходится.

Задача 5.7. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим признак Лейбница. Так как , то первое условие признака Лейбница выполнено. Далее, так както, т.е. выполнено и второе условие. Значит, по признаку Лейбница исходный ряд сходится. Выясним теперь, сходится ли этот ряд абсолютно, т.е. сходится ли ряд . Используя интегральный признак Коши, можно убедиться (см. пример 5.4), что рядсходится и, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Вопросы для самопроверки по теме 5.1

1. Как называется сумма первыхчленов ряда?

2. Как называют конечный предел ?

3. Какой ряд называется сходящимся?

4. Какой ряд называется расходящимся?

5. Чему равна сумма ряда , если сумма рядаравна?

6. Чему равна сумма ряда, если соответствующие суммы двух рядов равны соответственно?

7. Изменится ли свойство сходимости или расходимости ряда, если у ряда отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала ряда?

8. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

9. Следует ли сходимость ряда из стремления общего члена ряда к нулю?

10. Как называют ряд ? Сходится ли этот ряд?

11. Сформулируйте первый признак сравнения положительных рядов.

12. Сформулируйте второй признак сравнения положительных рядов.

13. Сформулируйте интегральный признак сходимости Коши.

14. Сформулируйте признак Даламбера сходимости рядов.

15. Какой ряд называется знакопеременным рядом?

16. Какой ряд называется абсолютно сходящимся рядом?

17. Дайте определение операции умножения рядов.

18. Чему равна сумма ряда, полученного в результате умножения двух абсолютно сходящихся рядов?

19. Какой ряд называется условно сходящимся?

20. Какой ряд называется знакочередующимся?

21. Какой ряд будем называть рядом типа Лейбница?

22. Сформулируйте признак сходимости Лейбница?

23. Оцените ошибку, совершаемую при замене суммы ряда типа Лейбница его частичной суммой.