Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Первый тип. Уравнение вида

(2.7)

где - функция, непрерывная на некотором промежутке. Для этого типа уравнений можно найти общее решение в квадратурах, последовательно понижая порядок уравнения на единицу. Действительно, так както данное уравнение запишем в виде, откуда следует

(2.8)

где - произвольная постоянная. Учитывая, что, проделаем с уравнением (2.8) те же операции, что и с уравнением (2.7). В результате получимгде- произвольная постоянная.

Продолжая так и далее, будем получать последовательно

и т.д. Наконец, получим

где - появляющиеся последовательно произвольные постоянные.

Легко видеть, что это общее решение данного уравнения в области

Например, уравнения ,и- это уравнения первого типа.

Второй тип. Уравнение вида

(2.9)

где -заданная функция своих аргументов, а натуральное числоудовлетворяет неравенству, т.е. это тип уравнения, не содержащего искомой функции и ее производных до порядкавключительно.

Введем новую неизвестную функцию , положив

(2.10)

Тогда и уравнение (2.9) может быть записано в виде

(2.11)

Это дифференциальное уравнение порядка относительно неизвестной функции, то есть порядок понижается наединиц. Допустим, что полученное уравнение-го порядка проинтегрировано и получено его общее решение

(2.12)

где - произвольные постоянные. Используя подстановку (2.10) и соотношение (2.12), получим уравнение-го порядка для определения функции

Это уравнение относится к рассмотренному выше первому типу (2.7) и, следовательно, интегрируя его последовательно раз, получим общее решение уравнения (2.9) в виде

Итак, вопрос об интегрировании уравнения -го порядка типа (2.9) сводится к интегрированию уравнения-го порядка (2.11).

Например, уравнения ,и- это уравнения второго типа.

Третий тип. Уравнение вида

(2.13)

где - заданная функция своих аргументов, то есть это тип уравнений, не содержащих явно независимой переменной. Покажем, что порядок уравнения этого типа может быть понижен на единицу. Для этого примемза новую независимую переменную, а за новую искомую функцию -, которую для удобства обозначим черезтак, что сможем написать

(2.14)

В согласии с правилом дифференцирования сложной функции будем иметь:

(2.15)

Используя полученное выражение, имеем

(2.16)

Из последних выражений непосредственно видно, что вторая производная от повыразилась через первую производную отпо, а третья производная отповыразилась через вторую производную отпо. Продолжая так и далее, нетрудно убедиться что каждая из производных отпопорядкавыражается через производные отпопорядка не выше, то есть

(2.17)

где - известная функция своих аргументов.

Заменяя в уравнении (2.13) производные соответственно выражениями (2.15), (2.16), (2.17), получим дифференциальное уравнениепорядка относительно новой неизвестной функцииаргумента

(2.18)

где - известная функция своих аргументов.

Если последнее уравнение проинтегрировано и его общее решение имеет вид

где известная функция своих аргументов, а- произвольные постоянные, то решение данного уравнения сводится к решению уравнения первого порядка.

Интегрируя последнее уравнение, получим общий интеграл уравнения (2.13)

где - произвольная постоянная.

Из изложенного следует, что интегрирование уравнения -го порядка типа (2.13) с помощью подстановки (2.14) сводится к интегрированию уравнения-го порядка (2.18).

Например, уравнения ,и- это уравнения третьего типа.