Вопросы для самопроверки по теме 1.2

1. Как в общем виде можно записать дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными? Сформулируйте метод его интегрирования.

2. Дайте определение однородной функции степени и степени.

3. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

4. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

5. В чем заключается метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка?

6. Сформулируйте метод Бернулли (разделения переменных) для интегрирования линейного уравнения.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Данный раздел содержит следующие темы:

2.1. Основные определения. Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка.

2.2. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

2.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы тестов № 3-5. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить две задачи из контрольной работы № 5 под номерами 11-20 и 21-30 в соответствии со своим вариантом.

2.1. Основные определения. Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка

В рассматриваемой теме Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

• Решение дифференциального уравнения -го порядка. Задача Коши для уравнения-го порядка.

• Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы самопроверки и на вопросы теста №3. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачу из контрольной работы № 5 под номером 11-20 в соответствии со своим вариантом.

Решение дифференциального уравнения -го порядка. Задача Коши для уравнения-го порядка

Ранее указывалось, что любое дифференциальное уравнение -го порядка с одной неизвестной функциейу аргумента всегда можно записать в виде

(2.1)

где означает известную функцию своих аргументов, причем производнаяобязательно содержится в уравнении.

Решением дифференциального уравнения (2.1) на промежутке называется всякая функциякоторая определена ираз дифференцируема на этом промежутке и которая при подстановке в уравнение (2.1) обращает его в тождество на промежутке

.

Если уравнение (2.1) удается разрешить относительно , то его можно записать в виде

(2.2)

где - известная функция своих аргументов, определенная в некоторой областипространстваизмерений.

Уравнение вида (2.2) называют уравнением -го порядка, разрешенном относительно старшей производной.

Так же как и дифференциальное уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение высшего порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений, каждое из которых изображается на плоскости некоторой кривой, которая называетсяинтегральной кривой соответствующего уравнения.

Задача Коши для уравнения (2.2) ставится так: найти решение удовлетворяющее начальным условиям

(2.3)

где - заданные числа, которые называютначальными значениями.

Характерная особенность задачи Коши состоит в том, что начальные условия задаются при одном и том же значении аргумента.

Как и для дифференциального уравнения первого порядка в рассматриваемом случае возникает вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши. На этот вопрос отвечает теорема, которую мы приводим без доказательства и в упрощенной формулировке.

Теорема 2.1. Если в уравнении

функция , а так же частные производные

непрерывны в некоторой области пространстваизмерений, то какова бы ни была точкаэтой области, существует единственное решениеданного уравнения, определенное в некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющее начальным условиям

Отметим специально, что единственность решения задачи Коши для уравнения -го порядка (2.2) не означает, что через данную точкуплоскостипроходит только одна интегральная кривая, как это имело место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. В частности, для уравнения второго порядка вида (2.2) единственность решения задачи Коши означает, что через точкупроходит единственная интегральная кривая, которая в этой точке составляет с положительным направлением осиугол, тангенс которого равен.

Решение конкретных прикладных задач часто приводит не к начальным условиям типа (2.3), а к так называемым краевым условиям, когда значения искомой функции и ее производных задаются для нескольких различных значений аргумента. Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего такого типа условиям, называется краевой задачей или граничной.

Естественно, что краевые задачи могут ставиться лишь для уравнений выше первого порядка, ибо в случае уравнения первого порядка задание значения искомого решения в одной точке (в силу теоремы 2.1) уже определяет решение в других точках единственным образом и, следовательно, значение решения во второй точке может быть вычислено, а не задаваемо заранее.

Заметим, что краевая задача не всегда имеет решение, а если и имеет, то, как правило, не единственное.

Пример 2.1. Найти решения уравнения , удовлетворяющие граничным условиям

Замечая, что , можно данное уравнение записать в виде

,

откуда следует , где- произвольная постоянная. Выполняя интегрирование, получим

Интегрируя последнее уравнение, будем иметь

где - произвольная постоянная. Заметим, что все решения данного уравнения содержатся в последней формуле. Выберем постоянныеитак, чтобы заданные граничные условия выполнялись. В результате получим систему уравнений

откуда следует , так что искомое решение будет единственным

Распространим определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка на дифференциальное уравнение -го порядка вида (2.2). С этой целью обозначим черезнекоторую область изменения переменных, считая, что в каждой ее точке выполнены условия теоремы 2.1.

Определение. Функция

(2.4)

определенная в некоторой области изменения переменных и имеющая непрерывные частные производные подо-го порядка включительно, называетсяобщим решением уравнения (2.2) в области , если выполнены два условия:

Система уравнений

(2.5)

разрешима в области относительно, так что имеем

(2.6)

2) Функция (2.4) является решением уравнения (2.2) при всех значениях доставляемых формулами (2.6) при условии, что точка- произвольная точка области.

Отметим, что общее решение уравнения содержит в себе все решения уравнения (2.2) с начальными данными из области . Каждое из них может быть получено из формулы (2.4) при соответствующих значениях постоянных.

Решение, получающееся из общего решения при конкретных (допустимых) значениях постоянных , называютчастным решением данного уравнения.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2.3) при условии, что точка принадлежит области, следует подставить начальные значенияв систему (2.5) вместои решить полученную систему

относительно постоянных . Подставив найденные значения в общее решение (2.4), получим искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2.3).

Общее решение уравнения (2.2), записанное в виде не разрешенном относительно искомой функции

,

называется общим интегралом рассматриваемого уравнения.

Решение уравнений -го порядка в некоторых случаях удается провести с помощью понижения его порядка за счет соответствующих замен искомой функции и независимой переменной. Ниже будут рассмотрены некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.