Вопросы для самопроверки по теме 1.1

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Какие дифференциальные уравнения называются обыкновенными?

3. Как определить порядок дифференциального уравнения?

4. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

5. Интегральной кривой дифференциального уравнения называется ….... (закончить фразу).

6. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

7. Дайте определения общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка.

1.2. Основные типы уравнений первого порядка

В рассматриваемой теме Вам предстоит познакомиться со следующими вопросами:

• Уравнения с разделяющимися переменными;

• Однородные уравнения первого порядка;

• Линейные уравнения первого порядка.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы самопроверки и на вопросы теста №2. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачу из контрольной работы № 5 под номерами 1-10 в соответствии со своим вариантом.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

, (1.9)

где функции инепрерывны соответственно на интервалах, а функцияимеет непрерывную производную на.

Если уравнение (1.9) умножить на (при), то получим уравнение

(1.10)

уже с разделенными переменными. Если в уравнении (1.10) под понимать решение уравнения (1.9), то равенство (1.10) означает равенство дифференциалов (в правой части этот дифференциал выражен непосредственно через независимую переменную, а в левой части – через посредство, являющегося функцией). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы могут различаться только на произвольное постоянное слагаемое, так что можем написать

. (1.11)

Соотношение (1.11) представляет собой общий интеграл уравнения (1.9) в прямоугольнике

. (1.12)

Пример 1.2. Найти решение уравнения

, (1.13)

удовлетворяющее начальному условию

Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, записанное в виде (1.9) (здесь а). Функцииинепрерывны при любых значенияхи, причемУмножив обе части данного уравнения наи разделив наимеем

В согласии с равенством (1.11) получим общий интеграл данного уравнения на всей плоскости в виде

. (1.14)

Выполняя операции интегрирования, получим

где - произвольная постоянная. (1.15)

Для решения поставленной задачи Коши положим в полученном общем интеграле Будем иметь, т.е.Подставив найденное значениев равенство (1.15) и разрешив относительно, получим частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим еще один тип дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Прежде чем дать определение этого типа уравнений, приведем понятие об однородной функции.

Определение. Функция называетсяоднородной функцией степени относительно переменныхи, если умножение каждого из ее аргументовна одно и то же произвольное число равносильно умножению ее на, а именно

где - действительное число. (1.16)

Например, функция является однородной функцией третьей степени относительнои, ибо

Аналогично, функции являются

однородными функциями соответственно нулевой и второй степени.

Функции однородными не являются, так как для них условие (1.16) не выполняется ни при каких.

Дифференциальное уравнение

(1.17)

называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.