3.2. Опорный конспект лекций по дисциплине

Введение

В предлагаемом Вам опорном конспекте лекций по курсу математики в краткой и сжатой форме изложен теоретический материал, широко проиллюстрированный решенными примерами, необходимый к усвоению в течение третьего семестра на втором курсе обучения в СЗТУ. В каждом разделе конспекта указаны количество и номера задач, которые необходимо решить для осуществления текущего и итогового контроля.

Раздел 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Данный раздел включает темы:

1.1. Основные понятия.

1.2. Основные типы уравнений первого порядка .

По каждой теме излагается основной теоретический материал и приводятся иллюстрирующие примеры. В рубрике “Решение задач” дан подробный разбор типовых примеров.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачу из контрольной работы № 5.

1.1. Основные понятия

В рассматриваемой теме Вам предстоит познакомиться со следующими вопросами:

• Порядок и решение дифференциального уравнения. Интегральная кривая;

• Задача Коши. Общее и частное решения.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста №1. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Порядок и решение дифференциального

уравнения. Интегральная кривая

Уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций, называются дифференциальными уравнениями.

Неизвестные функции, входящие в уравнения, могут зависеть от одной или нескольких независимых переменных: в первом случае они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями, во втором случае - дифференциальными уравнениями в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Так, например, уравнения

являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, а уравнения - обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка с одной неизвестной функциейаргументавсегда можно записать в виде

(1.1)

где - известная функция своих аргументов, причем производнаяобязательно содержится в уравнении.

Решением дифференциального уравнения (1.1) на промежутке называется функция,раз дифференцируемая на этом промежутке, при подстановке которой вместов уравнение (1.1), оно обращается в тождество на всем промежутке, т.е.

Например, функция является решением уравненияна всей числовой оси.

График решения дифференциального уравнения (1.1) называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Заметим, что иногда решение получают в неявной форме , называя его интегралом дифференциального уравнения, или в параметрическом виде где - параметр.

Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Одной из задач теории дифференциальных уравнений является интегрирование уравнений в квадратурах (в конечном виде), т.е. в получении замкнутой формулы, дающей (в явной, неявной или параметрической форме) выражение зависимости того или иного решения от аргумента, через заданные функции и интегралы от них. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла.

Отметим специально, что в теории дифференциальных уравнений под символом понимают какую-нибудь одну первообразную, а постоянную интегрирования пишут отдельно.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1.2)

где - независимая переменная,- его неизвестная функция,a - заданная функция своих переменных в некоторой области пространства трех переменных. Если это уравнение может быть разрешено относительно производной , то получим уравнение вида

(1.3)

где - известная функция, определенная в некоторой областина плоскости. Уравнение вида (1.3) называют уравнением, разрешенным относительно производной или уравнением в нормальной форме.

Уравнение (1.3) всегда можно записать в виде которое является частным случаем уравнения вида

Последнее уравнение примечательно тем, что иравноправны, так как из самого уравнения не следует, какая из переменных является независимой, а какая - функцией.