Решение задач

Задача 2.1. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

(2.19)

Это уравнение рассмотренного первого типа. Так как функция непрерывна на всей оси, то общее решение может быть получено после трехкратного последовательного интегрирования функции, а именно

(2.20)

(2.21)

(2.22)

где - произвольные постоянные.

Для получения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.19), подставим в выражения (2.20), (2.21), (2.22) соответствующие начальные значения. В результате получим следующие уравнения для определения постоянных :

,

откуда следует, что

Искомое частное решение имеет вид

Задача 2.2. Решить уравнение , считая, что.

Данное уравнение не содержит неизвестной функции и ее производнойследовательно, оно относится ко второму типу. Введя подстановку

(2.23)

получим уравнение первого порядка: Это уравнение с разделяющимися переменными, так что можем записать его в виде

или .

Интегрируя последнее уравнение, получим его общее решение для случая

(2.24)

где - произвольная положительная постоянная. Из равенств (2.23) и (2.24) следует

т. е. дифференциальное уравнение второго порядка первого типа.

Выполняя последовательно двукратное интегрирование функции , получим сначала, и общее решение данного уравнениягдеи- произвольные постоянные.

Задача 2.3. Решить уравнение

Данное уравнение имеет второй порядок и не содержит явно независимой переменной и, следовательно, относится к третьему типу. Если ввести подстановкусчитаяфункцией, то

а тогда данное уравнение можно записать в виде

.

Это дифференциальное уравнение распадается на два:

Первое из них дает , т.е., где- произвольная постоянная.

Разделив обе части второго уравнения на , получим линейное однородное уравнение первого порядка

Воспользовавшись формулой (1.27) для общего решения линейного однородного уравнения первого порядка, можем написать

где - произвольная постоянная. Выполняя интегрирование, получим

Вспоминая, что будем иметь уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Выполняя интегрирование, получим

где - произвольная постоянная. Замечая, что решениесодержится в последнем выражении при, можем утверждать, что это выражение представляет собою общий интеграл данного уравнения.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением -го порядка?

2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения -го порядка?

3. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения -го порядка?

4. Чем отличаются начальные условия и краевые условия для дифференциального уравнения -го порядка?

5. Как определяется общее решение уравнения -го порядка?

6. Какие типы дифференциальных уравнений -го порядка допускают понижение порядка?

2.2. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка.

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

В рассматриваемой теме Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

• Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения.

• Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка;

• Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста №4. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Однородные и неоднородные линейные дифференциальные

уравнения. Структура общего решения линейного однородного

дифференциального уравнения -го порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

(2.25)

где - искомая функция аргумента, а функциизаданы и непрерывны на некотором промежутке

Если всюду в функциятождественно равна нулю, то уравнение (2.25) называетсяоднородным, или линейным уравнением без правой части, в противном случае неоднородным, или линейным уравнением с правой частью.

Если уравнение (2.25) разрешить относительно старшей производной, то легко заметить, что в области

- мерного пространства выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Это значит, что для любого из всюду насуществует единственное решениеуравнения (2.25), удовлетворяющее начальным условиям

где - произвольные числа.

Отсюда следует, что общее решение уравнения (2.25) содержит все решения этого уравнения. Особых решений линейное уравнение не имеет.

Рассмотрим подробнее однородное дифференциальное уравнение

(2.26)

Решения линейного однородного уравнения обладают двумя важными свойствами, выражаемыми следующими теоремами

Теорема 2.2. Если функция является решением уравнения (2.26), а- любая постоянная, то и функцияесть также решение уравнения (2.26).

Теорема 2.3. Если функции иявляются решениями уравнения (2.26), то и их сумматакже является решением уравнения (2.26).

Доказательство теорем 2.2 и 2.3 Вы найдете в [1].

Пример 2.2. Задано линейное однородное дифференциальное уравнение

Убедимся вначале, что функция является его решением. Так как, то, подставивв левую часть уравнения, получим

Умножим теперь это решение на произвольную постоянную и подставим произведениев данное уравнение. Будем иметь тождество.

Точно также легко убедиться, что функция является решением рассматриваемого уравнения. Составим сумму этих решенийи подставим в левую часть уравнения. Получим

Из изложенного следует, что и линейная комбинация , гдеи- произвольные постоянные, также является решением предложенного уравнения.

На основании рассмотренных свойств можно утверждать, что, вообще, если функции

(2.27)

являются решениями однородного уравнения (2.26), то их линейная комбинация

(2.28)

где - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения. Естественно возникает вопрос о том, что если число функцийравно порядку однородного уравнения (2.26), то не будет ли линейная комбинация (2.28) общим решением уравнения (2.26) в соответствующей области. Оказывается, что это так, но только если решения (2.27) удовлетворяют некоторому дополнительному условию. Чтобы сформулировать это условие введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций.

Определение. Функции

(2.29)

определенные и непрерывные на интервале называютсялинейно зависимыми на интервале , если существует такой набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие, что при любомна интервалевыполняется тождество

(2.30)

Если же тождество (2.30) может быть выполнено только при условии , то функции (2.29) называютлинейно независимыми на интервале .

Легко видеть, что если функции (2.29) линейно зависимы на то, по крайней мере, одна из этих функций может быть выражена в виде линейной комбинации остальных. Действительно, так как в соотношении (2.30) в этом случае хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то приняв, для определенности, что, запишем его в виде

Разделив обе части последнего равенства на , получим

откуда и следует справедливость сделанного утверждения.

Последнее утверждение иногда принимают за определение линейно зависимых функций. При этом, естественно, данное выше определение становится следствием.

Для двух линейно зависимых функций ипоследнее утверждение выглядит так:, т.е. отношение(постоянному числу). Поэтому, еслине равно постоянному числу, тоилинейно независимы. Например, функциии,и,и- линейно независимы на всей оси.

Пример 2.3. Три функции линейно зависимы на любом интервале, ибо, положивполучим на основании известного тождества из тригонометрии, что

Пример 2.4. Четыре функции линейно независимы на любом промежутке числовой оси, ибо если составить линейную комбинацию этих функций с произвольными коэффициентамито получим многочлен, который может обратиться в нуль не более чем при трех значениях(кубическое уравнение не может иметь более трех вещественных корней). Следовательно, тождествоможет быть выполнено, только если

Считая, что функции (2.29) дифференцируемы раз на интервале, введем в рассмотрение определитель-го порядка

который называют определителем Вронского (вронскианом) для рассматриваемых функций. Естественно, что определитель Вронского также является функцией от , определенной на интервале.

Оказывается, что с помощью определителя Вронского можно сформулировать довольно удобный признак линейной независимости решений однородного линейного уравнения-го порядка. Этот признак дается с помощью следующей теоремы, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 2.4. Для того чтобы решенийлинейного однородного уравнения (2.26) были линейно независимы нанеобходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этих решений не обращался в нуль ни в одной точке из.

Использование этого признака облегчается наличием двух важных свойств вронскиана, которые мы примем без доказательства.

1) Если определитель Вронского для этих решений обращается в нуль в одной точке интервала то он равен нулю во всех точках.

2) Если определитель Вронского для этих решений не равен нулю в одной точке интервала то он отличен от нуля во всех точках.

Из изложенного следует, что для линейной независимости решений линейного однородного уравнения-го порядка на интерваленеобходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля в одной точке интервала.

Введем теперь понятие фундаментальной системы решений.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения -го порядка на интервале называется любая система изрешений этого уравнения линейно независимых на.

Легко видеть, что уравнение (2.26) имеет на интервале бесконечное множество фундаментальных систем решений.

Теперь мы в состоянии ответить на вопрос об условиях, при которых линейная комбинация (2.28) будет общим решением уравнения (2.26).

Имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема 2.5. Если - фундаментальная система решений уравнения (2.26) на интервалето линейная комбинация этих решений

где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2.26) в области

Пример 2.5. Решить уравнение .

Убедимся вначале, что функции иявляются решениями данного уравнения на всей оси. С этой целью подставим в левую часть уравнения сначала функцию, а затем. Получим

Для того чтобы убедиться, что эти решения линейно независимы на и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений, составим определитель Вронского для них

Поскольку вронскиан для этих решений отличен от нуля всюду на , то в согласии с теоремой 2.5, линейная комбинация

где и- произвольные постоянные, представляет собою общее решение данного уравнения в области