Метод исключения, фазовое пространство

Можно показать, что при выполнении довольно общих условий, система уравнений (3.1) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению -го порядка относительно любой из функций или к группе уравнений (с одной неизвестной функцией каждое), сумма порядков которых равна .

Достигается это с помощью метода исключения, который состоит в том, что из системы (3.1) при помощи последовательного - кратного дифференцирования, например функции, и замены каждый раз их значениями из системы (3.1), получают систему из уравнений, из которой, исключая , получают одно уравнение -го порядка относительно функции (случай получения группы уравнений не приносит ничего принципиально нового). Найдя общее решение этого уравнения, определяют остальные функции без квадратур.

Если независимую переменную трактовать как время и ввести в рассмотрение -мерное пространство с координатами , назвав его фазовым, то всякое решение системы (3.1) представляет собой движение точки в фазовом пространстве. Поэтому решению системы (3.1) соответствует движение точки в фазовом пространстве, а кривая, описываемая в нем движущейся точкой, называется траекторией этого движения. Начальная задача, или задача Коши для нормальной системы (3.1) ставится так: найти решение системы (3.1), которое удовлетворяло бы начальным условиям

(3.2)

где - заданные числа.

Если ввести в рассмотрение вектор с координатами то система (3.1) и начальные условия (3.2) могут быть записаны в векторном виде

где - векторная функция с координатами а--мерный вектор с координатами

Как и ранее, возникает вопрос о существовании и единственности решения системы (3.1), удовлетворяющей начальным условиям (3.2).

Оказывается, что теорема существования и единственности решения для уравнения первого порядка в нормальной форме распространяется и на нормальную систему уравнений.

Теорема 3.1. Если правые части системы (3.1) непрерывны в некоторой окрестности точки и имеют в этой окрестности непрерывные частные производные по, то система (3.1) имеет единственное решение определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальным условиям (3.2).

По аналогии с введенными для дифференциального уравнения -го порядка понятиями общего и частного решений, вводятся понятия общего и частного решений системы уравнений (3.1).

Продемонстрируем применение метода исключения.

Пример 3.1. Решить систему уравнений

(3.3)

Получим дифференциальное уравнение для определения функции . С этой целью продифференцируем третье уравнение системы (3.3)

и заменим производные через их выражения из системы (3.3):

(3.4)

Выпишем систему уравнений, состоящую из уравнения (3.4) и третьего уравнения системы (3.3)

Разрешив ее относительно и получим

(3.5)

Продифференцируем теперь уравнение (3.4)

и заменим производные и через их выражения из системы (3.3):

(3.6)

Подставив теперь в правую часть (3.6) вместо и соответствующие выражения из (3.5), получим

или

Получено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Составим его характеристическое уравнение и найдем корниЭто значит, что для можно записать

(3.7)

где - произвольные постоянные. Подставив выражение (3.7) в (3.5), найдем

(3.8)

(3.9)

Совокупность выражений (3.7), (3.8) и (3.9) образует общее решение системы (3.3).