УМК Математика 3-й сем / Глоссарий 3 сем-ред

Второй признак сравнения положительных рядов.

Пусть (A) и (B)

- два положительных ряда, причем можно указать такие постоянные и что, начиная с некоторого , выполняются неравенства

Тогда ряды (A) и (B) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Гармоническим рядом называется ряд , который расходится.

Геометрическим рядом называют ряд члены которого образуют геометрическую прогрессию.

Дифференциальные уравнения – уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций.

Дифференциал длины дуги кривой на плоскости –

Двойной интеграл-,

где - интегральная сумма для функции , соответствующая выбранному разбиению области D; - площади областей, на которые разбита область D; - максимальный из диаметров областей, на которые разбита область .

Задача Коши для уравнения -го порядка, разрешенного относительно старшей производной, – отыскание такого решения уравнения, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение вместе с заданными значениями производных вплоть до -го порядка.

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Знакочередующимся называется знакопеременный ряд, если соседние его члены имеют различные знаки, т.е.

Интегральный признак Коши сходимости положительных рядов.

Пусть дан ряд (A), члены которого положительны и не возрастают, т.е. Пусть введена функция определенная для всех непрерывная, невозрастающая и такая, что

Имеет место следующая теорема:

Для сходимости ряда (A) необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Интервалом сходимости вещественного ряда называется множество значений переменной , удовлетворяющих соотношению . Число называется радиусом сходимости.

Криволинейный интеграл первого рода от функции по кривой АВ

,

где - интегральная сумма для функции , соответствующая выбранному разбиению дуги АВ; - максимальная из длин дуг, на которые разбита дуга АВ.

Криволинейный интеграл второго рода по переменной х от функции пo кривой АВ от точки А до точки В

,

где - интегральная сумма для функции , соответствующая выбранному разбиению дуги АВ; - максимальная из длин дуг, на которые разбита дуга АВ.

Комплексным степенным рядом называют ряд где переменная принимает комплексные значения, а коэффициенты ряда - комплексные числа.

Кругом сходимости комплексного ряда называется множество всех комплексных чисел, для которых и которые образуют на плоскости комплексных чисел круг радиуса с центром в точке 0.

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка – уравнения вида , где искомая функция аргумента , а функции , , … ,, заданы и непрерывны на промежутке . Если на , то это уравнение называется однородным.

Метод И. Бернулли – отыскание решения уравнения в виде , где функции и непрерывно дифференцируемые на промежутке .

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) – отыскание решения уравнения , где и - заданные непрерывные функции на промежутке , в виде , где функция подлежит определению.

Необходимый и достаточный признак сходимости. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно чтобы его частичные суммы были ограничены сверху, т.е.

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при

Неотрицательным рядом называют ряд все члены которого неотрицательны, так что

Нормальная система дифференциальных уравнений – система уравнений вида , где ; - заданные функции своих аргументов, а - искомые функции.

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех значений переменной , для которых сходится функциональный ряд.

Общее решение уравнения в области - функция непрерывно дифференцируемая по , удовлетворяющая двум условиям: 1) равенство разрешимо в области относительно произвольной постоянной , так что , 2) функция является решением уравнения для всякого значения постоянной , полученной из формулы , в которой точка - любая точка области .

Однородное уравнение первого порядка – уравнение , у которого правая часть есть однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.

Однородная функция степени относительно переменных и - функция , для которой умножение каждого из ее аргументов на одно и то же число равносильно умножению ее на .

Определитель Вронского – где , , …, - раз дифференцируемые функции на промежутке .

Первый признак сравнения положительных рядов. Пусть даны два положительных ряда

(A) и (B)

причем члены ряда (А), начиная с некоторого номера не превосходят соответствующих членов ряда (В):

Тогда из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Повторный двукратный интеграл -

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно в интервале , если существует сходящийся числовой ряд , члены которого положительны и превосходят абсолютные величины соответствующих членов функционального ряда при всех из интервала , т.е.

Признак Даламбера сходимости положительных рядов. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему, начиная с некоторого значения удовлетворяет неравенству , где не зависит от то ряд сходится. Если же наоборот, начиная с некоторого имеем , то данный ряд расходится.

Признак сходимости Лейбница. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т.е. если , и , то ряд сходится.

Порядок дифференциального уравнения – порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение.

Равномерно сходящимся в промежутке называется ряд, для которого при любом заданном можно найти такое число , не зависящее от , чтобы при любом значении из промежутка выполнялось неравенство при всех где - остаток ряда.

Радиусом сходимости ряда называется неотрицательное число , которое обладает следующими свойствами: ряд сходится абсолютно при и ряд расходится при

Разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точки называется представление функции в виде ряда

.

Расходящимся называется ряд, для которого последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Решение дифференциального уравнения -го порядка на некотором промежутке – функция, которая раз дифференцируема и при подстановке в уравнение обращает его в тождество на всем рассматриваемом промежутке.

Решение нормальной системы дифференциальных уравнений , где на интервале - всякая совокупность функций определенных и непрерывно дифференцируемых на , которая при подстановке в уравнения системы обращает их в тождества при всех из .

Рядом Дирихле называют ряд , который, как можно показать, сходится при и расходится при .

Рядом Маклорена называют ряд

.

Рядом типа Лейбница называют знакочередующийся ряд удовлетворяющий условиям и .

Система линейных дифференциальных уравнений – система вида где ; функции и непрерывны на интервале .

Если на интервале функции тождественно равны нулю, то система называется линейной однородной; в противном случае линейной неоднородной.

Степенными рядами называются ряды вида где числа коэффициенты ряда.

Сходящимся называют ряд, для которого последовательность его частичных сумм имеет конечный предел

Суммой ряда называют конечный предел частичных сумм

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно при всех значениях , для которых Наоборот, если он расходится при , то расходится и при всех значениях , для которых

Уравнение с разделяющимися переменными – дифференциальное уравнение первого порядка, если его можно записать в виде , где функция определена и непрерывна на интервале , а функция определена и имеет непрерывную производную на интервале .

Условно сходящимся называется знакопеременный ряд, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Формула Грина -

где L - граница области D.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения -го порядка на промежутке - любая система решений этого уравнения линейно независимых на .

Функция знакоопределенная (определенно-положительная или определенно-отрицательная) – если она знакопостоянная и обращается в ноль только в единственной точке

Функция знакопостоянная (положительна или отрицательна), если в некоторых точках достаточно малой окрестности начала координат она обращается в ноль, а во всех других точках этой окрестности принимает значение только одного знака (положительного или отрицательного), при этом функция в квадрате однозначна, непрерывна и .

Функциональным рядом на множестве называется символ , где - функции, определенные на некотором множестве вещественных чисел.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения где - заданные числа – уравнение , а его корни – характеристические числа данного дифференциального уравнения.

Характеристическим (вековым) уравнением системы где , а - заданные числа – уравнение

Частное решение – решение, которое получается из общего , если произвольной постоянной придать конкретное (допустимое) значение.

Частичной суммой ряда называется сумма первых членов ряда.

Членами ряда называют члены последовательности где называют общим членом ряда.

Числовым рядом называют символ , для которого введено понятие суммы ряда.

3.4. Методические указания к проведению практических занятий

Основной целью проведения практических занятий является выработка навыков решения задач по изучаемой теме. Для студентов всех форм обучения часть занятий, в соответствии с количеством часов, указанных в тематических планах (стр. 7-10), проводится в аудитории, в течение семестра, во время сессии или на форуме учебного сайта СЗТУ. Другая часть занятий ведется с использованием ДОТ: студенты рассматривают типичные задачи по изучаемой теме ([4], [6]), выполняют задания, выдаваемые персонально преподавателем. Инициативная работа на практических занятиях позволяет студентам набрать дополнительные баллы в балльно - рейтинговой системе.

146