2. Методические указания к выполнению контрольной работы 1

В задаче 1 требуется упростить формулу исчисления высказываний, т.е. получить формулу равносильную исходной, но содержащую, по возможности, меньшее число пропозициональных букв и символов логических операций. Например, дана формула:

(X1  X2  X3) & (X1   X2  X3) & (X1  X3) &

(X2  X3  X4) & (X1  X2   X3) &

(X1  X3   X4) & (X1  X2).

Предлагается следующая форма записи преобразований: в исходной или промежуточной формуле отмечаем подформулы, к которым применяется преобразование, номером равносильности, которая используется для упрощения формулы. Для этого студент должен выписать те равносильности, которые он использует, перенумеровать их и ссылаться на эту нумерацию при их использовании в контрольной работе.

Применим к первым двум подформулам (X1  X2  X3) и

(X1 X2 X3) равносильность

(P1  P2) & (P1 P2) P1,

(1)

считая P1 = X1  X3 и P2 = X2, тогда их можно заменить одной подформулой (X1  X3), что дает более простую формулу, равносильную исходной:

(X1  X3) & (X1 X3) & (X2  X3  X4) &

(X1   X2   X3) & (X1  X3   X4) & (X1  X2).

К подформулам (X1  X3) и (X1  X3) снова применим равносильность (1) и получаем еще более простую формулу, равносильную исходной:

X1 & (X2  X3  X4) & (X1  X2   X3) & (X1  X3 X4) &

(X1  X2) и т.д.

Используем далее равносильности

P1&(P1  P2)  P1& P2,	(2)
P&P  0,	(3)
P& 0  0.	(4)

Для рассматриваемой формулы запись всех упрощений может иметь, например, следующий вид:

(X1  X2  X3)₁ & (X1  X2  X3)₁ & (X1  X3) & (X2  X3  X4) & (X1  X2  X3) & (X1  X3  X4) & (X1  X2) =

(X1  X3)₁ & (X1  X3)₁ & (X2  X3  X4) & (X1  X2  X3) &

(X1  X3  X4) & (X1  X2) =

X1₂ & (X2  X3  X4) & (X1  X2  X3)₂ & (X1  X3  X4)₂ &

(X1  X2)₂ =

X1 & (X2  X3  X4)₂ & (X2  X3)₂ & (X3   X4) & X2₂ =

X1 & (X3  X4)₂ & (X3)₂ & (X3  X4)₂ & X2 =

X1 & X4₃ & X3 & X4₃ & X2 = (X1 & 0 & X3 & X2)₄ = 0.

Если в формуле используются операции импликации и эквивалентности, то, как правило, их следует преобразовать с помощью соответствующих равносильностей. Например:

((X1  X2)₅  (X1  X4))₅  (X1  (X2  X3))₅ =

(X1₆  X2 X1₆  X4)  (X1  X2  X3) =

((X1  X2  X4) (X1  X2  X3))₅ =

((X1  X2  X4))₇  X1  X2  X3 =

(  X1₈ & (X2  X4)₇)  X1  X2  X3 =

((X1 & X2 & X4)  X1)₂  X2  X3 =

(( X2 & X4)  X1  X2)₂  X3 =

X1  X2  X3  X4.

В этом примере использованы равносильности

P1  P2  P1  P2	(5)
P  P  P	(6)
 (P1  P2)  P1&P2	(7)
 P  P	(8)

Из этого примера видно, что некоторые правила можно применить независимо к отдельным формулам.

В задаче 2 необходимо выяснить является ли одно составное высказывание логическим следствием другого. Возьмем высказывание: "Pавные треугольники подобны". Это высказывание можно записать символически Ф1 = A  B, где A = "Треугольники равны", B = "Треугольники подобны".

Рассмотрим высказывание: Треугольники подобны только в случае их равенства", которое можно записать символически как Ф2 = B  A, где A и B определены выше. Является ли Ф2 логическим следствием Ф1? Рассмотрим импликацию Ф3 = (A  B)  (B  A) и, чтобы проверить, является ли она тавтологией, упростим эту формулу:

(A  B)₅  (B  A)₅ = ((  A  B)  (  B  A))₅ =

((  A  B))₇   B  A = (( A & B)  B)₉  A = ( B  A)₅ = B  A.

Здесь использована равносильность

P1(P1 & P2)  P1.

(9)

Таким образом, Ф3 не является тавтологией и, следовательно, нельзя сказать, что Ф2 является логическим следствием Ф1.

В задаче 3 даны универсальное множество M = {a,b,c,d,e,f} и два подмножества L = {b,c,d} и K = {d,e,f}, и два предиката P(x) и Q(x), причем {x: P(x)} = L и {x: Q(x)} = K, т.е. L и K являются множествами истинности предикатов P(x) и Q(x) соответственно.

Требуется найти множество истинности эквивалентности E(x) = P(x)  Q(x).

Для решения используем определение эквивалентности предикатов

{x E(x)} = (L  K)  (L  K) =

({a,b,e,f}  {d,e,f})  ({b,c,d}  {a,b,c}) =

{e,f}  {b,c} = {e,f,b,c}.