Формула Рэлея-Джинса:

0

2

(1.12)

r ,T

4 2c2 kБT

«Ультрафиолетовая

катастрофа»

1.3. Формула Планка

1900 г.

h h

h

(1.13)

2

2

h 6,62 10 34

Дж с

1,054 10 34

Дж с

n n

(1.14)

Равновесное излучение подчиняется закону распре-

деления по энергии Больцмана, следовательно,

вероятность того, что энергия колебания с частотой ω

имеет значение εn, равна:

P Nn

exp n kБT

(1.15)

n

N

exp n kБT

n

Среднее значение энергии колебания:

Pn n

(1.16)

1.14

и 1.15

1.16

n exp n kБT

n 0

(1.17)

exp n kБT

n 0

x k T

Б

n e nx

d

nx

(1.18)

n 0

dx

ln e

e

nx

n 0

n 0

1

e nx

x

n 0

1 e

d

1

d

ln 1 e

x

ln

1

e

x

dx

dx

1 e x

1 e x

ex 1

(1.19)

exp kБT 1

u ,T d dn

2

d

exp kБT 1

2c3

r0 ,T c u ,T

4

Формула Планка:

0

3

1

(1.20)

r (T ) 4 2c2

exp( k T ) 1

Б

r0

4 2 c2

1

(1.21)

,T

5

exp( 2 c / kБT ) 1

В области длинных волн формула Планка переходит

в классическую формулу Рэлея-Джинса.

При

0

показатель экспоненты становится

много меньше единицы. Разлагая экспоненту в

степенной ряд, и учитывая только два первых члена

разложения, получим:

exp / kБT 1

,

k T

Б

r0(T )

3

1

2

k T

4 2c2

1

1

4 2c2

Б

k T

Б

Из формулы Планка следует и закон Стефана –

Больцмана.

3

d

RЭ0 r0 T d

2

c

2

0

0

4

exp kБT 1

x

k T

dx

d

Б

kБT

0

k T

4 x3dx

(1.22)

RЭ

4 2c2

Б

0 ex 1

x3dx

4

0 ex 1 15

RЭ0

2kБ4

T 4 T 4

(1.23)

60c2 3

2k 4

5,6696 10-8

Вт

Б

60c2 3

м2К4

Полученная Планком формула дает исчерпывающее

описание равновесного теплового излучения.