Основные этапы решения оптимизационной задачи.

Процесс решения любой операционной задачи на основе оптимизационной модели можно разделить на следующие этапы:

1. постановка задачи;

2. составление математической оптимизационной модели;

3. выбор метода и разработка алгоритма решения;

4. подготовка информации и вычисление оптимального решения;

5. анализ и проверка полученного решения;

6. разработка рекомендаций по использованию результатов.

Постановка задачи. Определяется характер задачи и конечная цель моделирования, предварительно оцениваются возможные результаты. На этом этапе производится построение качественной модели, т.е. выделение факторов которые представляется наиболее важными и установление закономерностей которым они подчиняются.

Выбор целевой функции модели. Экспериментальной проверке подвергается ряд допущений, относящихся к природе реального процесса. Если допущения не могут быть подвергнуты экспериментальной проверке, то их подкрепляют с помощью теории о механизме изучаемого явления.

Далее приступают к построению математической модели процесса, т.е. записи в математических терминах качественной модели. Определяется структура модели, ее математическая запись, в которой вместе с известными числовыми значениями факторов будут присутствовать неизвестные.

Осуществляется решение модели, т.е. отыскивается экстремум целевой функции и оптимальное решение – решение соответствующему этому экстремуму.

Вероятностные модели на этом этапе подвергаются статистическому анализу, т.е. статистической оценке неизвестных факторов, входящих в математическую модель, исследованию свойств полученных оценок и их точности.

Производится сопоставление результатов вычислений, модельных заключений, оценок, следствий и выводов с реальным объектом или реальным процессом. Устанавливается степень адекватности модели и моделирующего объекта в пределах точности исходной информации.

Возможно два случая:

результаты сопоставления удовлетворительны, модель принимается.

результаты сопоставления неудовлетворительны, тогда переходят ко второму циклу процесса построения математической модели. Корректируется входная информация о моделирующем объекте или процессе и в случае необходимости, постановке задачи, изменяется или строится заново математическая модель, решается соответствующая математическая задача и снова производится сопоставление.

Разрабатываются рекомендации по внедрению результатов моделирования экономико-математических задач производства. В них указываются область применения модели и эффективность возможных решений, полученных с помощью моделирования.

Методы и средства поиска оптимальных решений Особенности решения задач математического программирования.

Разработка методов поиска оптимального решения на заданной оптимизационной модели составляет предмет математического программирования.

В общем виде задача математического программирования формируется следующим образом: найти значение переменных x₁, x₂,…,x_n, обеспечивающие максимум (минимум) целевой функции

на множестве допустимых решений системы ограничений

Вкачестве дополнительных ограничений в задачу может включаться требование целочисленности или бинарности (значения 0 или 1) всех или некоторых переменных.

Метод решения – это теоретически обоснованная совокупность правил, обеспечивающих решение определенного типа задач. Важно отметить, что метод решения – это не только алгоритм расчета, но и правила оценки результата, анализ возможности возникновения ошибок, обоснование точности решения.

По своей постановке задачи математического программирования образуют класс задач поиска условного экстремума функции многих переменных. Их принципиальное отличие от задач поиска безусловного экстремума заключается в том, что при ограниченной области изменения переменных максимальное значение функции может достигаться не только в точке ее экстремума, но и на границе изменения переменных. Это хорошо иллюстрируется следующим примером. Пусть необходимо найти максимум линейной целевой функции на множестве решений системы

Из математического анализа известно, что необходимое условие существования безусловного экстремума – наличие точки, в которой частные производные от всех переменных обращаются в ноль. В данном случае

и

То есть функция не имеет точек безусловного экстремума и можно говорить только об условном максимуме на множестве допустимых значений аргументов x1 и x2. Этими значениями являются неотрицательные решения ограничения – равенства a1x1 + a2x2=b и данная задача сводится к исследованию этих решений и значений функции Z на них.

Т.о., решение задач математического программирования в первую очередь требует разработки методов нахождения и перебора решений систем ограничений, состоящих из уравнений и неравенств многих переменных, и затем методов анализа изменения целевой функции на этом множестве решений.

Другой отличительной особенностью задач математического программирования является возможность разрывов в области допустимых значений переменных.

Так, в задачах с дискретными переменными область допустимых значений распадается на ряд отдельных точек, что вообще исключает применение метода анализа производных.

Особое место в задачах математического программирования занимают модели со случайными функциями. Для этих задач понятие единственного оптимального решения вообще теряет смысл, т.к. наличие случайных функций – ограничений «размывает» область допустимых значений, делает ее неопределенной, а случайная целевая функция приводит к неопределенности выбора двух близких решений.

Для решения оптимизационных задач в настоящее время разработано большое число методов, которые можно разделить на две группы: конечные и приближенные.

Конечные методы гарантируют получение точного решения за конечное число шагов. Точность решения определяется только погрешностью вычислений. Приближенные методы позволяют получить лишь приближенное значение оптимума с погрешностью, заложенной в метод решения задачи, а число шагов в принципе может быть бесконечным.

Как конечные, так и приближенные методы могут быть универсальные, позволяющие решать некоторый класс задач, или специальные – применяемые для решения задач только определенного типа.

По принципу поиска оптимального решения все методы можно разделить на аналитические и итерационные. В первом случае за счет аналитических преобразований и вычислений получают единственное допустимое и оно же оптимальное решение. Во втором – оптимум находят путем перебора некоторого числа допустимых решений.

Возможность использования того или иного метода, его эффективность, вероятность ошибочных результатов и т.д. требуют многостороннего теоретического исследования и обоснования. Для наиболее распространенных в настоящее время итерационных методов такое обоснование строится по следующей схеме:

1. определяют свойства множества допустимых решений в результате исследования отдельных ограничений;

2. определяют условия существования оптимума и возможные исходы решения задачи исходя из этих свойств и вида целевой функции;

3. выбирают стратегию поиска оптимального решения. Определяют критерии перехода от одного решения к другому, обеспечивающие эту стратегию. Оценивают конечность поиска с помощью этой стратегии;

4. разрабатывают численную процедуру, найдя соответствующие признаки допустимого и оптимального решений.