2.8. Нормальное распределение
Наиболее важным распределением для непрерывных случайных величин является нормальное распределение. Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения. Например, распределение высоты деревьев, площадей садовых участков, массы людей, дневной температуры и т. д. Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в экономической жизни. Например, распределение числа дневных продаж в магазине, числа посетителей универмага в неделю, числа работников в некоторой отрасли, объемов выпуска продукции на предприятии и т. д.
Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределения дискретных случайных величин. Так, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса приблизительно подчиняются нормальному распределению.
Нормальное распределение иногда называют законом ошибок. Например, отклонения в размерах деталей от установленного размера объясняются многими причинами. Каждая из них влияет на размер детали, так что отклонение, которое фактически регистрируется при измерениях, является суммой большого числа отклонений (ошибок) и следует нормальному закону распределения.
Нормальное распределение (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности.
Говорят, что СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:
, (2.13)
где
mиσ- параметры
распределения, удовлетворяющие
соотношениям
.
Из (2.13) получаем формулу для функции распределения нормального распределения
(2.14)
Нормальное распределение зависит от параметров mиσ.При этом
(2.15)
Если СВ Химеет нормальное распределение с параметрамиmи σ, то символически это записывается так:
X~N(m , σ2) (2.16)
В случае, когда m=0 иσ=1, говорят о стандартном нормальном распределении.
Основные свойства плотности вероятностиf(x)нормального распределения:
а) функция f(x)существует при любых действительных значенияххи принимает только положительные значения. Следовательно, график функции плотности нормального распределения расположен выше оси абсцисс;
б) при неограниченном возрастании хпо абсолютной величине значениеf(x)стремится к нулю. Это значит, что ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения;
в) максимальное значение функция f(x)принимает в точкех = m,соответствующей математическому ожиданию случайной величиных;
г) кривая нормального распределения симметрична относительно прямой х = m,поскольку разностьx – mвходит в формулу (2.13) во второй степени;
д) кривая нормального распределения
имеет две точки перегиба, расположенные
симметрично относительно прямой х =
m. Абсциссы точек
перегибаm – σиm + σ,
ординаты точек перегиба
.
Формула (2.13) содержит два параметра: математическое ожидание m= М(Х) и стандартное отклонение σ = σ(X). Следовательно, существует бесконечно много нормально распределенных случайных величин, имеющих разные значения параметровmиσ. Графики их плотностей имеют одинаковую форму – симметричную, колоколообразную. Если значенияmиσизвестны, то из семейства нормальных случайных величин выделяют конкретную нормальную случайную величину с определенной плотностью вероятности.
Рис.
2.4. Кривые плотности нормального
распределения
с различными значениями m и σ.
Математическое ожидание m– это величина, которая характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс (рис.2.4). Изменение параметраmпри неизменном значении σ приводит к перемещению оси симметрии (х = m) вдоль оси абсцисс и, следовательно, к соответствующему перемещению кривой распределения. Значениеmиногда называют центром распределения или параметром сдвига. Прих = mфункция плотности достигает максимума. Прямаях = mявляется осью симметрии. Отметим, что вследствие симметрии она делит пополам площадь, расположенную под кривой плотности. Таким образом, значениеmесть мода и медиана распределенияМо = m; Ме = m.
Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением значения σвершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более «островершинной» (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличением значенияσкривая распределения менее островершинная и более растянута вдоль оси абсцисс. Одновременное изменение параметровmиσприведет к изменению формы и положения кривой нормального распределения.