2.5. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределенияF(x) по формуле

. (2.3)

Согласно равенствам (2.2), (2.3) и свойству 6(л.р. №1) функция распределенияF(x)иплотность распределения f(x)связаны так, как показано на рис. 2.2.

..

Рис.2.2. Связь функции распределения с плотностью распределения вероятностей

Используя геометрическую интерпретацию, легко проиллюстрировать следующий факт:вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Р(Х = х₁) = 0 (2.4)

Согласно сказанному, равенство нулю вероятности Р(Х = х₁) не всегда означает, что событиеХ = х₁ невозможно. Говоря о вероятности событияХ = х₁, априорно пытаются угадать, какое значение примет случайная величина в опыте.

Если х₁ лежит в области возможных значений непрерывной случайной величиныX, то с некоторой уверенностью можно предсказать область, в которую случайная величина может попасть. В то же время невозможно хотя бы с малейшей степенью уверенности угадать, какое конкретное значение из бесконечного числа возможных значений примет непрерывная случайная величина.

Например, если метеослужба объявляет, что температура воздуха в полдень составила 5°С, то это не означает, что истинное значение температуры было точно равно этому значению, а температура была приблизительно таковой. Вероятность события, состоящего в том, что температура воздуха в полдень в точности составляет 5°С, равна нулю.

Таким образом, для полной характеристики непрерывной случайной величины достаточно задать функцию распределения или плотность ее вероятности.

2.6. Свойства плотности распределения (дифференциальной распределения)

1. Дифференциальная функция – неотрицательная функция:

f(x) ≥ 0 , (2.5)

где -∞ <x <+ ∞.

Это следует из того, что F(x) –неубывающая функция, а значит ее производная неотрицательна.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от – ∞ до + ∞ равен 1

. (2.6)

Очевидно, что этот интеграл выражает вероятность достоверного события.

2.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

(2.7)

Дисперсиейнепрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

(2.8)

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) непрерывной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии

(2.9)

Для числовых характеристик непрерывных случайных величин справедливы те же свойства, что и для дискретных. В частности, для дисперсии непрерывной случайной величины справедлива формула

(2.10)

КвантильпорядкаPодномерного распределения есть такое значение случайной величиныx_P,для которого выполняется равенство

(2.11)

Используя определение плотности распределения вероятности, можно получить другое определение квантиля порядка P.Это такое значение случайной величиныx_P, для которого выполняется равенство

(2.12)

Т.е. точка x_Pделит площадь подграфика функции плотности распределения на две части таким образом, что площадь левой части равнаP. Например, x_1/2 - медиана распределения, она делит площадь подграфика пополам. Например, выделяют такие значениях(точки деления), которые делят площадь подграфика функции плотности распределения на четыре равные части по 25% в каждой группе. Эти значениях(точки деления) называютсяквартилями(quartile), при этом средняя из них также называетсямедианой(рис.2.3.). Другие термины, которые достаточно известны, это децили (decile), которые делят площадь на 10 частей, и центили (centile), которые делят площадь под кривой на 100 частей (их также называют процентилями). Значения типа квартилей могут быть выражены через центили; например, самый левый квартиль равен 25-ому центилю, а медиана – 50-ому центилю.

Особое значение имеют 2.5 и 97.5-ые центили, а так же 5-й и 95-ый центили. Первая пара широко используется при построении 95% доверительного интервала, а вторая - для проверки статистических гипотез при уровне значимости, равном 5%.

Рис.2.3. Квартили для непрерывного распределения

Зная конкретный закон распределения СВ, можно предвидеть вероятности попадания исследуемой СВ в определенные интервалы. Законов распределения много. Ограничимся рассмотрением тех, которые наиболее активно используются в эконометрическом анализе. К их числу относятся нормальное распределение, экспоненциальное распределение, распределение χ², распределение Стьюдента, распределение Фишера.