Задача 3

Телефонная станция получает в час в среднем nвызовов.

Составить закон распределения количества вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X). Построитьмногоугольник (полигон) распределениядля иллюстрации распределения. Найти функцию распределенияF(x) случайной величиныXи построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание)M(X), дисперсиюD(X), среднее квадратическое отклонениеи модуСВХ. Вычисление математического ожиданияM(X), дисперсииD(X), среднего квадратического отклоненияпровести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что заданное распределение пуассоновское .

Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит

а) не менее kи не болееmвызовов?

б) менее kвызовов?

в) более mвызовов?

г) менее kвызовов или болееmвызовов?

Исходные данные приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6

Варианты заданий

Вариант	n	k	m	Вариант	n	k	m
1	360	3	7	16	270	2	7
2	240	3	8	17	360	3	8
3	270	5	8	18	240	2	7
4	330	3	7	19	330	2	7
5	360	4	9	20	420	2	7
6	240	4	9	21	360	5	7
7	270	3	7	22	240	3	9
8	330	3	8	23	270	3	8
9	420	4	9	24	330	3	9
10	360	2	7	25	420	3	8
11	240	3	7	26	360	5	8
12	270	4	9	27	240	4	9
13	330	5	8	28	270	3	9
14	240	5	8	29	330	4	9
15	360	3	9	30	420	3	7

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1.

Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения случайной величины Х - числа работ, оцененных на «отлично», среди отобранных работ. Найти функцию распределенияF(x) случайной величиныXи построить ее график. Найти дляXее среднее значение (математическое ожиданиеM(X)), дисперсиюD(X),среднее квадратическое отклонениеи моду. Найти вероятность, гдеa=x₂, b=x_n-1двумя способами: используя функцию распределения и непосредственно по таблице распределения.

Решение:Пусть случайная величинаX– число работ, оцененных на «отлично» среди трех отобранных. Так как из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично» и выбирается из них 3 работы, то случайная величинаXможет принимать следующие значения:

Найдем вероятности того, что случайная величина Х примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события(Х=0),то естьР(Х=0), как впрочем и решение задач о нахождении следующих вероятностейР(Х=1), Р(Х=2), Р(Х=3), может быть найдено с помощью известной формулы

где N- общее количество исходов,M– количество исходов, благоприятствующих появлению событияА.

В этой задаче событиеА состоит в том, что среди отобранных работ, число работ, оцененных на «отлично», равноk;kпоследовательно принимает значения 0, 1, 2 и 3;N– количество способов выбора трех работ из 25 - общего количества работ;M– количество способов выбораkработ, оцененных на «отлично», из общего количества работ.

Предварительно найдем число сочетаний из 25 по 3 (число способов, которыми можно из 25 контрольных работ извлечь 3):

Для (X=0) число исходов, благоприятствующих появлению событияА, может быть вычислено по формуле

Тогда

.

Тогда искомый закон распределения примет вид

X	0	1	2	3
pi	0,496	0,413	0,087	0,004

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

Проведем все эти расчеты в MSExcel.

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины Xнайдем по формуле (1.3). Пример реализации вMSExcelдан на рис.1.3, интервалD20:D25.

В результате получаем

Дисперсиюдискретной случайной величиныXнайдемдвумя способами.

Первый способ- по формуле (1.5), по определению дисперсии. Эти вычисления реализованы вMSExcel(рис.1.3), интервал ячеекF20:F25.

В результате получаем

Второй способ- по формуле (1.6) по свойству дисперсии. Предварительно необходимо вычислить математическое ожидание квадрата дискретной случайной величиныX - . Пример реализации вMSExcelдан на рис.1.3, интервал ячеекE20:E25. В результате получаем

Тогда дисперсия равна

Оба значения, полученные разными способами, совпали.

Среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим моду . Для этого можно по таблице распределения (интервалB20:C25) найтиx_i, которому соответствует наибольшее значение вероятностиp_i.

Другой способ - анализируя полигон распределения, найдем x_i, которому соответствует самое большое значениеp_i. Очевидно, что=0.

Рис.1.3. Решение задачи 1 в MSExcel(начало).

Вычислим коэффициент вариации V(Х)по формуле (1.8):

Построим многоугольник распределения по заданному распределению, используя графические средства MSExcel.

Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой (1.11).

В нашем примере имеем:

Таким образом, функция распределения примет вид

В MSExcelэти расчеты реализованы в интервале ячеекD55:D59 (рис.1.4), на том же листе построена «заготовка» для графика функции распределения. Далее эту «заготовку» следует достроить вручную до корректного графика (нанести стрелки и подписи по оси ординат), как на рис.1.2. Эту операцию по превращению полученной диаграммы EXCEL в корректную функцию распределения необходимо производить для всех распределений в данной работе (рис.1.6 и рис.1.8).

Рис.1.4 Решение задачи 1 вMSExcel(окончание).

Найдем вероятность , гдеa=x₂,b=x_n.

В данном случае x₂=1,x_n=3, т.е. требуется найти.

Первый способ-   используем функцию распределения:

Второй способ-  по таблице распределения.

Событие, состоящее в том, что СВ Хпримет значения в промежуткеможет реализоваться только в том случае, когда СВ принимает значенияили. Таким образом,

ЗАДАЧА 2.

Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию распределения случайной величиныXF(x) и построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание)M(X), дисперсиюD(X) и моду СВ Х. Найти вероятность, гдеa=x₂,b=x_n-1двумя способами: с помощью функции распределения и непосредственно по таблице распределения СВХ.

Решение:

Пусть случайная величина X– число попаданий в цель при трех выстрелах.

Обозначим n – число выстрелов,р- вероятность попадания при каждом выстреле,q - вероятность промаха при каждом выстрелеq=1- р. По условию имеемр=0,2 ;q=0,8; n=3.

Заметим, что при n=3 случайная величинаXможет принимать следующие значения:х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна. Так как испытания проводятся по схеме Бернулли, то можно утверждать, что случайная величинаXимеет биномиальное распределение и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Найдем соответствующие вероятности для данного примера:

Тогда искомый закон распределения примет вид

X	0	1	2	3
p	0,512	0,384	0,096	0,008

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

Заметим, что для биномиального распределения математическое ожидание и дисперсию легко вычислить по формулам:

математическое ожидание M(X)= n p =3· 0,2 =0,6;

дисперсия D(X) = n p q =3· 0,2 ·0,8 = 0,48 .

Найдем вероятность , гдеa=x₂, b=x_n. В данном случаеx₂=1,x_n=3, т.е. требуется найти

Первый способ - используя функцию распределения

Второй способ - по таблице распределения.

Событие, состоящее в том, что СВ примет значения в промежутке может реализоваться только в том случае, когда СВ равна 1 или 2. Таким образом,

Рис.1.5. Решение задачи 2 в MSExcel

Рис.1.6. Решение задачи 2 вMS Excel (продолжение)

ЗАДАЧА 3.

Телефонная станция получает в час в среднем 300 вызовов.

Составить закон распределения количества вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X). Построитьмногоугольник (полигон) распределениядля иллюстрации распределения СВX. Найти среднее значение (математическое ожиданиеM(X)), дисперсиюD(X), среднее квадратическое отклонениеи модуСВ X. Вычисление математического ожиданияM(X)), дисперсииD(X), среднее квадратического отклоненияпровести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что рассматривается распределение Пуассона.

Найти функцию распределения F(x) случайной величиныXи построить ее график. Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 вызовов и не более 8?

Решение.

Проведем все вычисления в MSExcel, рис.1.7-1.8.

Очевидно, что СВ X- количество вызовов, полученных станцией за одну минуту, распределено по закону Пуассона. Определим параметр λ. В данном случае λ=n/60 =300/60=5.

Распределение Пуассона определяется соотношением (1.14), для данной задачи

На рис.1.7 в интервале ячеек A5:B26 представлены первые 20 значений искомого распределения. ЯчейкаB6 содержит формулу =$C$4^A6/ФАКТР(A6)*EXP(-$C$4), остальные значения этого столбца заполняются копированием.

Вычисление математического ожиданияM(X)), дисперсииD(X), среднего квадратического отклонениявыполнено по формулам (1.3)-(1.6). Порядок вычисления такой же, как в задачах 1 и 2. Заметим, что эти формулы в данном случае не являются точными, поскольку случайная величина принимает бесконечное множество значений, а в вычислениях удержаны только 20 первых слагаемых(погрешность можно вычислить самостоятельно).Тогда, M(X)=λ=4,999998; D(X)=λ=4,999978;

.

Аналитически вычисление математического ожиданияM(X), дисперсииD(X), среднего квадратического отклоненияисключительно просто.

M(X)=λ=5, D(X)=λ=5,.

Сравнивая вычисленные характеристики, приходим к выводу, что результаты совпадают с точностью до 10^-5.

Коэффициент вариации V(x):

Данное распределение двумодальное (имеет два одинаковых наибольших значения). Очевидно, что равна 4 и 5.

Многоугольник (илиполигон) распределения построен на рабочем листе в строках 35:50.

Найдем приближенно функцию распределения F(x) случайной величиныXи построим ее график. Таблица значений функции распределения для первых 12 интервалов приведенав строках 52:67, график функции распределения для первых 12 интервалов приведенв строках 67:89.

Найдем вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 и не более 8 вызовов, т.е. найдем

Первый способ использует функцию распределения:

, тогда

Рис.1.7. Решение задачи 3 в MSExcel(начало).

Рис.1.8. Решение задачи 3 вMS Excel (окончание).

Второй способ использует непосредственно таблицу распределения.

Очевидна следующая формула:

Для вычисления по этой формуле в ячейку H96 введем формулу =СУММ(B10:B14), в результате получим то же значение, равное 0,6669 (рис.1.9).

Рис.1.9. Решение задачи 3 в MSExcel

.

Лабораторная работа 2

Тема. Вычисление числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Цель: Освоить на практике вычисление с помощью MS EXCEL числовыххарактеристик случайной непрерывной величины, изучить основные свойства функции распределения, плотности распределения и применять эти функции для вычисления вероятностей.