1.2. Биноминальное распределение

Допустим, что выполняется серия из nнезависимых одинаковых испытаний. Испытания независимы в том смысле, что результаты одних испытаний не влияют на результаты других. Некоторые испытания дают некоторый исход, другие не дают того же результата. Будем называть интересующий нас исход событиемU. Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании постоянна и равнаp, то вероятность того, что приnиспытаниях событиеU осуществится ровноmраз, определяется формулой Бернулли:

(1.13)

Закон распределения СВ Х, которая может принимать значение , вероятности которых определяются формулой Бернулли, называетсябиноминальным.

Ниже приведены примеры, в которых может использоваться биноминальный закон распределения.

1. Регистрируются nноворожденных, событиеU- рождение девочки. Пусть- вероятность того, что средиnноворожденных будетmдевочек.

2. Проверяется nлотерейных билетов, событиеU– выигрыш. Пусть- вероятность того, что средиnбилетов будетmвыигрышных.

3. На производстве проверяют nизделий, событиеU– появление изделия с браком. Пусть- вероятность того, что средиnизделий будетmбракованных.

Математическое ожидание (среднее) биноминального распределения M(X)=np; дисперсияD(X)=npq.

1.3. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является дискретным распределением и описывается формулой

, (1.14)

где λ>0– параметр распределения.

Этот закон используют для описания распределения следующих случайных величин:

1. Пусть на интервале [0,N] осиO_x случайно размещаютсяnточек, причем события, заключающиеся в попадании одной точки в любой наперед заданный отрезок постоянной (например, единичной) длины, равновероятны.

Если N→,n→и, то случайная величинаX, равная числу точек, попадающих в заданный отрезок единичной длины (которая может приминать значения0,1,…k,…),распределяется по закону Пуассона.

2. Если Nравно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов поступающих за одну минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона с параметром λ=N/60, т.е. вероятность того, что в течении одной минуты будет ровноkвызовов, определяется по формуле (1.14).

Математическое ожидание (среднее) случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона равно параметруλ ( M(X)=λ) , дисперсия также равнаλ(D(X)=λ).

Распределение Пуассона является предельным состоянием для биноминального распределения, когда вероятность pсобытия мала (p очень мало). Если число испытанийnвелико, то вероятностьможет быть вычислена по формуле

(1.15)

Обозначив через λ = np, заметим, что формулы (1.14) и (1.15) совпадают. Поэтому распределение Пуассона называютзаконом редких явлений.

Задание

Лабораторная работа №1 содержит три задачи. Все решения провести в MSExcel.

Задача 1

Из nконтрольных работ, среди которыхkоценены на «отлично», наугад извлекаютmработ. Составить закон распределения числа работ, оцененных на «отлично» (случайная величинаX) среди отобранных. Построить многоугольник (полигон) распределения. Найти функцию распределенияF(x)случайной величиныXи построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание)M(X), дисперсиюD(X), среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариацииV(Х)и модуСВХ. Найти вероятность, гдеa=x₁, b=x_n-1. Исходные данные приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4