1.1. Базовые понятия.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины(СВ).

Дискретной случайной величинойназываюттакую СВ, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Например, число покупателей в магазине в определенный момент времени, количество определенного товара, продаваемого ежедневно в магазине, число автомобилей на проспекте и т. д. являются дискретными СВ. Дискретность распределения не означает его конечность. Существуют дискретные распределения, которые имеют бесконечное количество возможных исходов. Одним из них является распределение Пуассона.

Для описания дискретной СВ необходимо установить соответствие между всевозможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соответствие называется законом распределения дискретной СВ. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы), либо графически.

Например, табличное задание закона распределения дискретной СВ (табл.1.1):

Таблица 1.1

х	х1	х2	…	хn
рi	р1	р2	…	рn

где х_{i –}значение случайной величины_;

р_1- вероятность, с которой СВ принимает значение х_i .

При этом должны выполняться следующие соотношения

и(1.1)

Эта таблица показывает что, случайная величина X в результате испытания может принять одно из возможных значений х₁, х₂, ..., х_п с соответствующими вероятностями

Р (Х = х₁) = р₁;Р(Х = х₂) = р₂; … Р(Х = х_п) = р_n. (1.2)

Для наглядности закон распределения дискретной случайной вели­чины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки с координатами и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения (полигоном) случайной величиныX.

Случайные величины описываются некоторыми числовыми характеристиками. Важнейшими из них являются: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Математическое ожидание М(Х) для дискретной СВ определяется по формуле:

_,(1.3)

Математическое ожиданиеприближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ при многократной реализации случайной величины.

Дисперсией D(X)CВXназывается математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

(1.4)

При этом для дискретной СВ имеем:

(1.5)

На практике, для вычисления дисперсии используется формула

(1.6)

Следует помнить, что формула (1.4) - это определение дисперсии, а соотношение (1.6) - это свойство, которое доказывается в теории вероятностей.

Из определения дисперсии следует, что это мера рассеяния (разброса) всех возможных значений случайной величины относительно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует изменчивость случайной величины: чем она больше, тем дальше от среднего значения находятся возможные значения случайной величины.

Так как дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ, а это неудобно, то вводится другая числовая характеристика - среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонениемилистандартным отклонением-СВХназывают величину:

(1.7)

Для оценки разброса значений СВ в процентах относительно ее среднего значения, вводится коэффициент вариацииV(Х):

(1.8)

Все эти величины (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) являются мерой разброса значений СВ относительно среднего значения.

Характеристики рассеяния значений СВ обычно применяются при изучении риска различных действий со случайным исходом: в финансовом анализе при оценивании различных активов и портфеля активов, при анализе риска инвестирования.

Например, если сравнивают две случайные величины, то та СВ, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение, более вариабельна (изменчива). Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней величиной возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает более вариабельный возврат с обеих сторон – как ниже, так и выше средней).

Модой дискретной СВ называется её наиболее вероятное значение.

Геометрическая интерпретация моды: мода это абсцисса той точки полигона распределения, у которой ордината максимальна

Определение функции распределения для дискретной СВ:

Функцией распределенияСВ Х называется функцияF(x), которая определяется следующим образом:

, (1.9)

то есть это вероятность того, что СВ Хпринимает значение меньшее, чем фиксированное действительное число x.При изменении значения х изменяются вероятности ,поэтому функцию F(x)рассматривают как функцию переменной величины.

Согласно определению функции распределения (1.9), имеем следующие соотношения:

, (1.10)

т.е. суммирование распространяется на все значения индекса i, для которыхх_i  <  x.

С учетом этого, функцию распределения F(x)для дискретной СВ, принимающей конечное число значений (табл.1.1), можно записать в следующем виде:

(1.11)

График функции F(x) дискретной случайной величины – прерывистая ступенчатая линия.

Отметим некоторые важнейшие свойства F(x):

1. Область значений (изменения) функции .

2. F(x)- неубывающая функция, то есть

.

3. .

4. F(x)– функция непрерывная слева, т.е.

5. Если СВ Хпринимает значения на отрезке [α,β], то

6. (1.12)

Эти свойства (кроме свойства 4) справедливы и для непрерывной СВ.

Соотношение (1.12) используют для вычисления вероятности - вероятности события, при котором случайная величина принимает значения большие или равныеа, но меньшиеb. Для дискретной СВ эту вероятность можно вычислить, используя непосредственно таблицу распределения, т.е. просто сложить соответствующие вероятности.

Пример 1.1.

Каждый урок учитель опрашивает у доски несколько учеников. Число опрошенных учеников зависит от многих факторов: планов на урок, сложности материала, уровня готовности учеников и т. д. Пусть X – число опрошенных учеников в определенный день.X – случайная величина, которая может быть только целым числом. Как показывает практика, число опрошенных учеников не превосходит 5. В нашем примере случайная величинаX принимает значения 0; 1; 2; 3; 4; 5, и вероятности этих значений равны 0,1; 0,2; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1 соответственно (табл.1.2).

Таблица 1.2