Задача 2.

В отделение банка приходит nклиентов в час. Известно, что промежуток времени между приходами двух клиентов распределен по экспоненциальному закону распределения. Исследовать этот закон распределения при заданной интенсивности, выполнив следующие действия:

1. Составить таблицу значений функции плотности распределения и функции распределения при изменении значений xот 0 доbcшагомh=b/N, приN=40. Построить графики этих функций. Значениеb подобрать самостоятельно таким образом, чтобы таблица была содержательной, т.е.F(b)было достаточно близко к 1,af(b)достаточно близко к 0, а шагh был достаточно мал.

Таблицу построить двумя способами:

1. пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения;

2. пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП().

2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислить погрешности.

3. Предположим, что в банк уже пришел один клиент.

1. какова вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин?

2. какова вероятность того, что следующий клиент придет в течение 12 мин?

3. какова вероятность того, что следующий клиент придет позже, чем через 24 мин?

Используя графики функции плотности распределения f(x)и функции распределенияF(x), проиллюстрируйте полученный результат. Приведем решение приn=5.

Решение задачи при n =5.

По определению интенсивности, в данном случае λ= 5.

Построим таблицу значений функции при изменении xот 0 до2 σcшагомh=0,05 . Т.е. таблица будет содержать 41 значение.

Все построения приведены на рис.2.8 - 2.10.

а) Столбцы В и С содержат значения функции плотности распределения и функции распределения, вычисленных по определению (2.18), (2.17).

b) СтолбцыDи Е содержат значения тех же функций, вычисленных с помощью встроенной функцией ЭКСПРАСП().

Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с экспоненциальным распределением для значения параметра λ.

Синтаксис: ЭКСПРАСП(x; lyambda; logical)

где

x— значение, для которого строится распределение;

lyambda— это значение параметра распределения;

logical— логическое значение, определяющее форму функции. Еслиlogicalимеет значение ИСТИНА, то функция ЭКСПРАСП возвращает интегральную функцию распределения, если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

Искомые графики приведены на рис.2.10.

2. Для того чтобы проверить соотношение (2.6), необходимо вычислить интеграл

т.к. λ=5, вычисляем интеграл

.

Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от 0 до 2 (для данногоλ), справедливо следующее соотношение

.

Чтобы найти последний интеграл, воспользуемся приближенной формулой трапеций. (2.28).

Вычисление этого интеграла приведено на рис.2.8 и 2.9. Подынтегральной функцией является функция f(x). В интервалеF7:F47 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках из формулы (2.28). В ячейкеF48 содержится сумма всех слагаемых, в ячейкеF58 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 1,005157.

Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0.005.

Для приближенного вычисления математического ожидания (2.7) используем (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию хf(x) . Все промежуточные вычисления содержатся в интервалеG7:G47. В ячейкеF60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 0,198861.

Теоретическое значение математического ожидания равно 1/λ=0.2, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,001.

Для приближенного вычисления дисперсии (2.8) необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию . Все промежуточные вычисления содержатся в интервалеH7:H48. В ячейкеF62 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 0.040453.

Теоретическое значение дисперсии распределения равно (1/ λ)²=(0.2)²=0.04, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,004.

Рис.2.8 Рабочий лист в режиме отображения данных

Рис.2.9. Рабочий лист в режиме отображения формул

Рис.2.10. Графики плотности и функции распределения для экспоненциального распределения

3. Чтобы вычислить вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин, необходимо сначала перевести минуты в часы, поскольку в качестве интенсивности используется количество посещений в час. При этом 12 мин - это 0,2 часа , а 24 мин - это 0,2 часа. Таким образом, искомую вероятность можно вычислить по формуле:

Cтрока 52 (рис.2.8) содержит указанные расчеты. На рис.2.11. приведена иллюстрация для вычисления значений. Это площадь заштрихованной криволинейной трапеции и она равна 0,6826.

Аналогичные расчеты и диаграммы необходимо построить для двух других интервалов.

Рис.2.11 Использование графиков плотности и функции распределения экспоненциального распределения для вычисления искомой вероятности.

Задача 3 :

Т.к. MSExcelне является специализированным математическим пакетом, в нем отсутствуют встроенные функции для построения плотности и функции распределения многих распределений. Поэтому для построения необходимо использовать функции, написанные пользователемUDF(userdefinefunction) написанные на встроенном языкеVBA(VisualBasicforApplication) . Эти функции из [1] приведены в Приложении 1.

Для вычисления значений функций плотности распределений χ² (хи – квадрат), Стьюдента (t-распределение) и распределения Фишера (F-распределение) можно использоватьUDFCPDF, TPDF иFPDFсоответственно.

Распределение χ² (хи – квадрат)

Для нахождения критических значений распределения χ² вMSExcelимеется встроенная функцияХИ2ОБР()

Синтаксис: ХИ2ОБР(p;df)

где

p— этоp-значение;

df— это число степеней свободы.

Решение приведено на рис.2.12-2.17.

Рис.2.12.Построение таблицы значений функции плотности χ² при различном числе степеней свободыdf (режим отображения данных)

Рис.2.13. Графики функции плотности χ² при различном числе степеней свободыdf

Рис.2.14. Нахождение критических значений для различных p-значений распределенияχ²

Рис.2.15. Геометрический смысл критических значений для различных p-значений

Рис.2.16. Построение таблицы значений функции плотности χ² при различном числе степеней свободыdf (режим отображения формул)

Рис.2.17. Нахождение критических значений для различных p-значений распределенияχ² (режим отображения формул)

Используя рис.2.13, сделайте вывод о симметричности распределения в зависимости от числа степеней свободы. Анализируя рис.2.14 -2.15, сделайте выводы об изменении критических значений в зависимости от p-значений.

Распределение Стьюдента

Для нахождения критических значений распределения Стьюдента в MSExcelесть встроенная функция СТЬЮДРАСПОБР.Эта функция возвращает двустороннееt_криткритическое значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы.

Синтаксис: СТЬЮДРАСПОБР(p; df)

где

p— вероятность, соответствующая двусторонней критической области распределения Стьюдента;

df — число степеней свободы, характеризующее распределение.

Критическая точка (t-значение) для односторонней критической области может быть получена при замене аргумента «вероятность» на 2*«вероятность». Для вероятности 0,05 и числа степеней свободы равного 10, критическое значение для двухсторонней критической области критическое значение вычисляют с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) и оно равно 2,28139. Критическое значение для односторонней критической области для той же вероятности и числа степеней свободы может быть вычислено по формуле СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;10) и равняется 1,812462.

Решение приведено на рис.2.18-2.23.

.

Рис.2.18. Таблица значений функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)

Рис.2.19. Графики функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободыdf

Рис.2.20. Нахождение двусторонних критических значений распределения Стьюдента для различных p-значений

Рис.2.21 Геометрический смысл двустороннего критического значения для распределения Стьдента для p-значения равного 0,05.

Рис.2.22 Геометрический смысл одностороннего критического значения для распределения Стьюдента для p-значения, равного 0,05

Рис.2.23. Построение таблицы значений функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободыdf (режим отображения формул).

С помощью рис. 2.19 сделайте вывод об изменении графика распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и его близости к кривой нормального распределения. По данным рис.2.20 сделайте выводы об изменении критических tзначений в зависимости отp-значений. По рис.2.21 и 2.22 оцените односторонние и двусторонние критические значения при фиксированном числе степеней свободы и одном и том же уровне значимости p.

Распределение Фишера

Для нахождения критических значений распределения Фишера в MSExcelимеется встроенная функция FРАСПОБР().

Синтаксис: FРАСПОБР(p;df1;df2)

где

p — этоp-значение;

df1— это число степеней свободы числителя;

df2 — это число степеней свободы знаменателя.

Решение приведено на рис.2.24-2.29.

Рис.2.24. Таблица значений функции плотности распределения Фишера при различном числе степеней свободыdf2 и фиксированном значении числа степеней свободыdf1, равном 5 (режим отображения данных).

Рис.2.25. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных p-значений

Рис.2.26. Геометрический смысл критических значений для различных p-значений распределения Фишера

Рис.2.27. Графики функции плотности распределенияФишера при различном числе степеней свободыdf2 и фиксированном значении числа степеней свободыdf1, равном 5

Рис.2.28. Построение таблицы значений функции плотности распределения Фишера при различном числе степеней свободыdf2 и фиксированном значении числа степеней свободыdf1 равном 5 (режим отображения формул)

Рис.2.29. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных p-значений (режим отображения формул)

Список литературы

1. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика, изд.9, М., Высшая школа, 2003, с.480.

2. Господариков В.П. и др. Математический практикум, ч.5, Теория вероятности и математическая статистика. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория поля. Санкт-Петербургский горный ин-т , СПб, 2003, с.187

3. Бер  К., Кэйри П.,Анализ данных с помощьюMicrosoft Excel, М., Вильямс, 2004, с. 560.

Приложение 1

Функции, определенные пользователем (userdefinefunction), написаны на встроенном языкеVBA(VisualBasicforApplication) для вычисления плотностей некоторых распределений (рис.П1.1). Для того, чтобы они были доступны на рабочем листеMSExcel, необходимо проделать следующее:

1. Открыть окно редактора VBA, выполнив следующие действия:

Сервис Макрос Редактор VisualBаsic

2. Открыть папку Modules в Project Explorer

3. Скопировать и вставить (или набрать) текст функций в окно редактора

4. Сохранить набранный текст.

5. После этого эти функции будут доступны в «Мастере функций» в категории «Определенные пользователем» на рабочем листе.