Задача 2

Экспоненциальное распределение.

Случайная величина распределена экспоненциально с параметром .

1. Построить графики плотности распределения и функции распределения, построив таблицу значений функции при изменении xот 0 доbcшагомh=b/N, приN=40. Таким образом, таблица будет содержать 41 значение. Значениеb подобрать самостоятельно, так, чтобы таблица была содержательной, т.е.F(b)было достаточно близко к 1,af(b)достаточно близко к 0, и шагh был достаточно мал. Если это не удается сделать приN=40, увеличьтеN.

Таблицу построить двумя способами:

1. пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения СВ;

2. пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП().

2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислить погрешности.

Вычислить вероятности следующих событий:

1. Случайная величина принимает значение меньше 1/.

2. Случайная величина принимает значение больше 1/.

3. Случайная величина принимает значение больше 1/и меньше 2/

4. Случайная величина принимает значение меньше 1/или больше 2/.

Используя графики функций плотности распределения f(x)и распределенияF(x),построенные в п.1, проиллюстрируйте полученный результат.

Исходные данные для различных вариантов составляются по следующему правилу:

=k+(n/10);

где k– номер подгруппы в потоке;n- номер студента в списке.

Задача 3

Построить графики плотности вероятности для следующих распределений:

1. распределение χ² (хи – квадрат);

2. распределение Стьюдента (t-распределение);

3. распределение Фишера (F-распределение) для нескольких степеней свободы.

Сделать выводы о симметричности распределений в зависимости от числа степеней свободы.

При фиксированном числе степеней свободы найти односторонние критические значения для следующих значений p: 0,05; 0,025 и 0,01.

Сделать выводы об изменении критических значений в зависимости от величины p-значений.

Для распределения Стьюдента вычислить двусторонние критические значения для тех же p-значений. Сделать соответствующие иллюстрации.

Данные для построения распределений (число степеней свободы) подобрать самостоятельно.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1

1. Пусть случайная величина Храспределена нормально с параметрамиm=0 и σ=1. Все вычисления приведены на рис.2.4 и рис.2.5.

а) Столбец С содержит значения функции плотности распределения, найденные по определению этой функции по формуле (2.13).

b) СтолбецDсодержит значения функции плотности распределения, найденные с помощью встроенной функцией НОРМРАСП().

Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с нормальным распределением для указанного среднего и стандартного отклонения.

Синтаксис: НОРМРАСП(x; m; sigma; logical),

где x— значение, для которого вычисляется значения функцийF(x) иf(x);

mиsigma— параметры распределения;

logical— логическое значение, определяющее форму функции. Еслиlogicalимеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

2. Столбец Eсодержит значения функции распределенияF(x), найденные с помощью встроенной функцией НОРМРАСП(). На рис.2.6. показаны графики построенных функции распределения и функции плотности.

3. Результаты вычислений для пункта 3 представлены в строках 51:57. На рис.2.7. приведены соответствующие иллюстрации, площади заштрихованных криволинейных трапеций равны искомым вероятностям.

4. Для проверки соотношения (2.6), необходимо вычислить, интеграл ,

а в случае m=0 иσ=1, интеграл

.

Поскольку аналитическое вычисление интеграла путем нахождения первообразной невозможно, вычислим интеграл, используя приемы приближенного интегрирования. Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от -3σ до 3σ, справедливо следующее соотношение.

Чтобы найти численно последний интеграл, воспользуемся формулой трапеций

, (2.28)

где

Вычисление этого интеграла приведено на рис.2.4 и 2.5. Подынтегральной функцией является функция f(x). В интервалеF8:F48 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках формулы 2.28. В ячейкеF49 содержится сумма всех слагаемых, в ячейкеG60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), оно равно0,999933. Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычисления равна10^-4.

Для приближенного вычисления математического ожидания, определяемого формулой (2.7), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию хf(x) . Все промежуточные вычисления содержатся в интервалеG8:G49 . В ячейкеG62 содержится приближенное значение этого интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное0,000000. Теоретическое значение математического ожидания равно нулю (a=0), таким образом, абсолютная погрешность равна10^-6.

Для приближенного вычисления дисперсии, определяемой формулой (2.8), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции .

Все промежуточные вычисления содержатся в интервале H8:H49. В ячейкеG64 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное 0,998816. Теоретическое значение дисперсии равно σ²=1, таким образом абсолютная погрешность равна10^-3.

Рис.2.4. Рабочий лист в режиме отображения данных

Рис.2.5. Рабочий лист в режиме отображений формул

Рис.2.6 Графики плотности и функции распределения для нормального распределения.

Рис.2.7 Геометрический смысл вычисления вероятности попадания СВ в интервал