2.12. Распределение Фишера

Пусть VиW– независимые случайные величины, распределенные по законуχ²со степенями свободыv₁= mиv₂=nсоответственно. Тогда величина

(2.25)

имеет распределение Фишера со степенями свободы v₁= m и v₂=n.Т.о.,Fраспределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободыmиn. Математическое ожидание и дисперсия этого распределения могут быть найдены по формулам

(2.26)

где n– число степеней свободы знаменателя;

m -число степеней свободы числителя.

Все эти распределения широко применяются при проверке статистических гипотез. При этом большое значение имеет понятие p-значенияи соответствующего критического значения некоторого критерия, используемого при проверке статистической гипотезы.Критическое значение, соответствующее значению p, равно 1-p квантилю. Таким образом, нахождение критического значения соответствующегоp=0,05аналогично нахождению95-го центиля. Геометрический смысл критического значения, соответствующегоp-значению, это такое значение абсциссы прямой параллельной оси 0Y, которая делит площадь соответствующего подграфика функции плотности таким образом, что площадь соответствующего «правого хвоста подграфика» равнаp.

При использовании распределения Стьюдента большое значение имеет понятиеp-значения и соответствующего критического значения, при этом различают двустороннее и одностороннее критические значения. Односторонняя критическая область полностью соответствует понятию критического значения для распределения χ² , т.е. одностороннее критическое значение соответствует значениюp,равному1-pквантилю. Двустороннее критическое значениеt_критопределяется как значение, удовлетворяющее соотношению

В силу симметричности распределения двусторонняя критическая область соответствует значению p,равному1-p/2квантилю. Например, нахождение критического значения, соответствующегоp=0,05, аналогично нахождению 97,5-го центиля. Геометрически двусторонняя критическая область, соответствующая вероятностиp,состоит из двух областей. Площадь каждой области равнаp/2. Двусторонне критическое значение - это такое значение абсциссы прямой параллельной оси 0Y, при котором площадь соответствующего «правого хвоста подграфика» равнаp/2. В силу симметричности распределения, площади «правого хвоста подграфика» и «левого хвоста подграфика» равны, а суммарная площадь равнаp (рис.2.20).

Задание

Задача 1

Случайная величина распределена нормально с параметрами mиσ.

Требуется:

1). Составить таблицу значений плотности функции распределения при изменении значений xот -4 σдо 4 σcшагомh=0.2σ. Построить график плотности распределения. Таблицу составить двумя способами:

1. пользуясь непосредственным определением функции плотности;

2. пользуясь встроенной функцией НОРМРАСП();

2). Построить график функции распределения (пользуясь встроенной функцией НОРМРАСП()).

3). Найти вероятности попадания СВ в указанные интервалы и сделать графическую иллюстрацию на основе графика п.1.

1. 

2. 

3. (2.27)

Для вычисления воспользоваться соотношением:

Обратить внимание, что последнее из соотношений (2.27), используется в известном из теории вероятности «правиле 3-х сигм».

4).Численно, используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.15). Вычислить погрешности.

Исходные данные для различных вариантов составляются по следующему правилу:

m=k+(n/10); σ =1+(n/10 ),

где k– номер подгруппы в потоке;n- номер студента в списке.