2.9. Экспоненциальное распределение

Экспоненциально распределенная случайная величина имеет функцию распределения

(2.17)

Плотность распределения экспоненциально распределенной случайной величины

(2.18)

Это распределение используется при моделировании систем массового обслуживания. Он широко используется для моделирования промежутков времени прошедших между двумя запросами, которые могут представлять собой приход клиента в банк или ресторан быстрого обслуживания, поступление пациента в больницу и т.д. и т.п. Поступление запросов можно рассматривать как поток однородных событий. Среднее количество событий, происходящих в единицу времени, называется интенсивностьюпотока.

Экспоненциальное распределение зависит только от одного параметра, который обозначается буквой λи представляет собой среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени, т.е.λ -это интенсивность потока запросов. Величина 1/ λ равна среднему промежутку времени, прошедшему между двумя последовательными запросами. Например, если в систему в среднем поступает 4 запроса в минуту, т.е. λ=4, то среднее время, прошедшее между двумя последовательными запросами, равно 1/ λ =1/4 мин.=15 сек. Вероятность того, что следующий запрос поступит раньше, чем черезхединиц времени, может быть вычислена по формуле

.

Экспоненциальное распределение характеризуется единственным параметром λ,который представляет собой среднее значение в исследуемом диапазоне. Числовые характеристики экспоненциальной случайной величины определяются следующими формулами:

M(X)=1/λ; D(X)=1/λ² (2.19)

Стандартное отклонение равно

(2.20 )

Экспоненциальное (показательное) распределениетесно связано с распределением Пуассона, которое используется для вычисления вероятности появления события в некоторый период времени.

2.10. Распределение 2 (хи – квадрат)

Пусть х_i (i=1, 2,…,n) - независимые нормально распределенные СВ с математическими ожиданиямиm_iи средними квадратическими отклонениямиσ_i, соответственно, то естьх_i ~ N(m_i,σ_I² ).

Тогда случайные величины являются независимыми СВ, имеющими стандартное нормальное распределение,U_i~N(0, 1).

Случайная величина χ² имеетхи– квадрат распределение сn- степенями свободы, если

(2.21)

Число степеней свободы этой случайной величины определяется числом случайных величин, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними.

Распределение χ² определяется одним параметром - числом степеней свободыn, при этом математическое ожидание и дисперсия случайной величины χ² равны соответственно

M(χ² )=n; D(χ²) =2n. (2.22)

Распределение χ² принимает только положительные значения. Распределение очень несимметрично при малом числе степеней свободы, но постепенно становится более симметричным при увеличении числа степеней свободы. Кроме того, при увеличении числа степеней свободы вероятность появления более высоких значений возрастает.

2.11. Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина U ~ N(0,1), т.е. следует нормальному закону распределения с параметрами 0, 1.CВVне зависит от СВ Uи распределена по законуχ²сn-степенями свободы. Тогда величина

(2.23)

имеет распределение Стьюдента (t-распределение) сn-степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия случайной величиныТ равны соответственно:

M(T)=0; .  (2.24)

Распределение Стьюдента определяется одним параметром - n.Приn>30 распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением.