5.2. Оценка качества построенной модели.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент детерминации(детерминированности).

Рассмотрим следующую величину: - общую сумму квадратов отклонений значений от их среднего арифметического значения. Для линейной регрессии можно доказать следующее равенство:

(5.10)

Первое слагаемое называется остаточной суммой квадратов отклоненийи характеризует отклонение экспериментальных данных от их теоретических значений, найденных по уравнению регрессии. Заметим, чтосовпадает с суммой, определяемой соотношением (5.6). Второе слагаемоеназываетсяфакторнойилирегрессионной суммой квадратов отклоненийи характеризует разброс теоретических значений относительно среднего арифметического значения исходных данных. Коэффициент детерминированности (детерминации) определяется по формуле:

. (5.11)

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности. Он показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными.

Коэффициент детерминированности может быть преобразован к следующему виду:

Таким образом, коэффициент детерминированности равен доле вариацииY объясняемой вариацией фактораX.

В случае линейной зависимости двух переменных коэффициент детерминированности равен квадрату коэффициента корреляции ().

Коэффициент детерминированности служит показателем тесноты связи между фактором и откликом.

Далее оценивается статистическая значимостькоэффициента детерминированности и параметров полученного уравнения, то есть оценка вероятности того, что данные величины не примут нулевые значения.

Проверка значимости уравнения в целом, то есть гипотезы о наличии линейной зависимости между и, проводится с помощьюкритерия Фишера. Проверка значимости уравнения в целом предполагает проверку нулевой гипотезы об отсутствии линейной связи междуи, то есть, альтернативная гипотеза, то естьсущественно отличен от нуля и уравнение значимо. Если нулевая гипотеза справедлива, томало отличается от. Для отклонениянеобходимо, чтобы регрессионная (факторная) дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Схема проверки гипотезы совпадает с общей схемой проведения дисперсионного анализа (табл. 5.2).

Для линейного уравнения регрессии справедливо выражение

.

Отсюда следует, что чем больше отношение , тем ближе значение коэффициента детерминированности к единице.

Это утверждение справедливо и для нелинейной регрессии. Приведем ик сравнимому виду. Существует соотношение между числомстепеней свободы(числом свободы независимого варьирования признака) для общей, факторной и остаточной сумм квадратов:

.

Для парной регрессии:

,

где - число единиц совокупности,- число параметров при переменныхв уравнении регрессии. Для линейного уравненияравно единице. Разделим каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы. Получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы

Таблица 5.2.

Схема проведения дисперсионного анализа

Источники вариации:	Вариация, объясненная за счет регрессии	Остаточная вариация	Общая вариация
Число степеней свободы
Сумма квадратов отклонений
Дисперсия на одну степень свободы
Фактическое значение критерия Фишера
Табличное значение критерия Фишера

(5.12)

(5.13)

. (5.14)

Критерий Фишера определяется следующим соотношением:

(5.15)

Использование критерия Фишера предполагает вычисление и его сравнение с табличным значением, которое зависит от уровня значимостии числа степеней свободы для факторной и остаточной сумм.определяется либо с помощью таблиц, либо с использованием специализированных пакетов программ, например, вExcelдля этого может быть использована функцияFРАСПРОБР().

Если , нулевая гипотезаоб отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о справедливости гипотезы(о существенности этой связи, значимости уравнения регрессии). Если же величинаокажется меньше табличной, то есть, то вероятность нулевой гипотезывыше заданного уровня значимости (например,0.05) и гипотезане может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии линейной связи междуи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым, линейной связи междуинет.

Критерий Фишера может быть вычислен как по формуле (5.15), так и через коэффициент детерминированности по формуле:

(5.16)

где - коэффициент детерминированности;- число наблюдений;- число параметров при переменныхв рассматриваемом уравнении регрессии.

Проверка значимости параметров уравнения регрессии: коэффициентов уравнения регрессии ии корреляции- проводится с помощьюкритерия Стьюдента.

С этой целью для каждого из параметров определяется стандартная ошибка (средняя квадратическая погрешность):

(5.17)

Статистики:

, (5.18)

имеют -распределение Стьюдента. Для заданного уровня значимостии соответствующего числа степеней свободы доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии определяются по формулам:

;, (5.19)

где - табличное значение для заданного числа степеней свободы и уровня значимости. Значениеможно получить с помощью функцииExcelСТЬЮДРАСПОБР().

Выдвигается нулевая гипотеза о незначимом отличии коэффициента регрессиив уравнении регрессии от нуля. По формулам (5.18) с учетом равенств (5.17) вычислим. Если вычисленное значение будет меньше критического, найденного для заданного уровня значимости и соответствующего числа степей свободы, то есть, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента регрессии отклоняется. Аналогично проверяется значимость свободного члена в уравнении (5.4) и коэффициента корреляции.

В прогнозных расчетах предсказываемое значениеопределяется как точечный прогнозпутем подстановки в уравнение регрессиизначения. Однако, точечный прогноз маловероятен. Поэтому находят интервальную оценку прогноза:

, (5.20)

где - стандартная ошибка:

. (5.21)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения при заданном значениихарактеризует ошибку положения линии регрессии. Чем больше разность междуи, тем больше величина, это влечет увеличение доверительного интервала (рис.5.2.) На этом рисунке показано, что минимальная ширина доверительного интервала соответствует случаю, когдаисовпадают. По мере удаленияотна величиныиширина соответствующих доверительных интервалов увеличивается.

Рис. 5.2. Доверительный интервал линии регрессии:

U– верхняя граница;L– нижняя граница доверительного интервала; Δ₀, Δ₁,и  Δ₂доверительные интервалы для прогнозных значений равных,исоответственно.

Для сравнения качества различных моделей используется скорректированный индекс детерминации-, содержащий поправку на число степеней свободы:

. (5.22)

Другой оценкой качества уравнения регрессии является средняя ошибка аппроксимации- среднее отклонение теоретических значений от фактических, которая определяется по формуле:

. (5.23)

Модель считается пригодной для прогноза, если величина не превышает 8%-10%.

Для модели, описываемой уравнением (5.2) можно вычислить коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %, и вычисляется по формуле:

, (5.24)

где - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для линейной модели

.