Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

I I. Погрешность при косвенных измерениях.

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с по­мощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользо­ваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргу­ментами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А  результат косвенного измерения,  ре­зультаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

(5)

С другой стороны . Так как погрешностьвсегда много меньше измеряемой величиныА, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать:.

5

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погреш­ность косвенного измерения можно найти путем:

1. логарифмирования исходного выражения ;

2. последующего дифференцирования ;

3. заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

4. заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

Пример.

Для определения плотности цилиндрического тела применяется формула:

,

где m  масса тела, D  диаметр, h  высота. Величины m, D, h определяются в результате прямых измерений. Плотность определяется из косвенных изме­рений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

1. находим натуральный логарифм исходного выражения

,

2. выполняем дифференцирование : ,

3. заменяем знак d на знак :,

4. перед всеми знаками ставим знаки плюс.

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

где  абсолютная погрешность косвенного измерения,  среднее значение искомой величины, ε – относительная погрешность.

Примечание.

Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолют­ную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погреш­ностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:

6

1) дифференцируют исходное выражение;

2) заменяют знак дифференциала d на знак погрешности ;

3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.

Пример.

1)

2) ,

3) .

III. Запись результата косвенного измерения.

При записи результата косвенного измерения необходимо соблюдать следующие правила:

1. Величину абсолютной погрешности необходимо округлить до двух зна­чащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в числе 5100 четыре значащие цифры.

Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка оказалась рав­ной , ее следует округлить до двух значащих цифр:. Если, ее следует округлить до одной значащей цифры.

2. Среднее значение измеряемой величины следует записать таким образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная погрешность.

Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле получается равным , а абсолютная ошибка после округления равна, то объем следует записать также только до десятых

Окончательный результат записывается в виде: .

Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины.

В случае нашего примера для объема цилиндра окончательный результат записывается следующим образом: .

Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:

.

7

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

При определении ускорения свободного падения g с помощью математи­ческого маятника используется расчетная формула:

,

где l  длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой, n - число колебаний маятника, t - время десяти колебаний маятника, определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины получаем следующие данные:

t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76; n = 10;

l= 54.2 см ±0.05 см = (54.2 ±0.05)10^-2 м

1) Результаты измерений заносим в таблицу

Результаты измерений и расчетов. Таблица.

№	, с	, с	l, м	Δl, м
1 2345	14.72 14.74 14.77 14.76 14.71	0.02 0 0.03 0.02 0.03	54.210-2	0.0510-2
	=14.74	0,02
	=(14.74±0.02) с		= (54,20 + 0,05)10-2 м
g =(9.84 ±0.05) м/с2, = 0.005

2) Определяем погрешности при прямых измерениях:

t = (14.74±0.02) c.

8

б) Так как измерения длины производились один раз, в качестве абсолютной погрешности берем погрешность инструмента (линейки), т.е. половину деления ее шкалы

3) Определяем относительную погрешность при косвенном измерении g:

а) берем натуральный логарифм от выражения:

б) выполняем дифференцирование

в) знак d заменяем на знак

,

г) знак минус перед знаком заменяем на знак плюс

.

Число Если ограничиться значением, то

относительная погрешность и

.

5. Запись окончательного результата. Находим среднее значение ускорения свободного падения

.

Найдем абсолютную погрешность: . Округляем полученный результат до одной значащей цифры. Записываем окончательный результат:

.