6.9 Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.

Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.

Пример: Вычислить длину окружности: x²+y²=R²

Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):

Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме: , функции x(t), y(t) определены и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α,β]. Производная , тогда сделав подстановку в формулу: и учитывая что

получим внесем множитель под знак корня и получим окончательно

Замечание: Задана плоская кривая , можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула

Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), a>0

Вычислить длину 4-ой части:

по формуле

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат:

Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой: - непрерывная функция, вместе со своей производной на отрезке [α,β].

Формулы перехода от полярных координат:

рассматривать как параметрические:

ϕ - параметр, по ф-ле

₂

Пр: Вычислить длину кривой : >0

З -ние: вычислим половину длины окружности:

Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.

пусть все тело заключено между 2-мя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, пересекающими её в точках х=а, х=b (a<b)

Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках . В каждом частичном промежутке . Выберем

и для каждого значения i=1,….,n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью х=С_i , объем такого элементарного цилиндра с площадью основания S=C_i и высотой ∆х_i . V_i=S(C_i)∆x_i . Объём всех таких элементарных цилиндров будет . Предел этой суммы, если он существует и конечен при max ∆х  0 называется объёмом данного тела.

. Так как V_n интегральная сумма для непрерывной на отрезке [a,b] функции S(x) то указанный предел существует (т-ма существования) и выражается опр. Интегралом.

- объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения.

Объём тела вращения:

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x) . Площадью круга S(x)=Пy²(x)=П[f(x)]².Подставляя формулу получим формулу для вычисления объёма тела вращения вокруг оси Ох:

Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией , то объём такого тела вращения:

Этот же объём может быть вычислен по формуле: . Если линия задана параметрическими уравнениями :

_{Делая замену переменной получим:}

Если линия задана параметрическими уравнениями :

_{y(α)=c, y(β)=d. Делая замену y=y(t) получим:}

Вычислить тела вращения вокруг оси ОУ параболы , .

1способ:

2способ:

2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой ( с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при .

Площадь поверхности тела вращения

Пусть заданна поверхность образованная вращением кривой у =f(х)вокруг оси Ох. Необходимо определить S этой поверхности при .

Пусть функция у =f(х) определенна и непрерывна, имеет неприр.и неотрицательна во всех точках отрезка [а;в]

Проведем хорды длины которых обозначим соответственно (n-хорд)

по теореме Лагранжа:

Тогда:

Площадь поверхности всей описанной ломанной будет равна

Определение: предел этой суммы, если он и конечен, когда наибольшее звено ломаной max , называется площадью рассматриваемой поверхности вращения.

Можно доказать, сто предел суммы равен приделу интегрированной суммы для р-ий

формула для S поверхности тела вращения =

S поверхности образованной Вращением дуги кривой х=g(x) вокруг оси Оу при

Непрерывна со своей производной

Если кривая заданна параметрически ур-ми x=x(t) , y=t(t) ф-ии x’(t), y’(t),x(t),y(t) определенны на отрезке [a;b],x(a)=a, x(b)=b то сделав замену переменой x=x(t)

Если кривая заданна параметрически сделав замену в формуле получим:

Если уравнение кривой заданно в полярной системе координат

S поверхности вращения вокруг оси будет равно