Лекции по метрологии / Лекция №10

Лекция № 10

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.

Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму случайных величин X и Y:

,

и найдём закон распределения величины Z.

,

, (1)

здесь D – область, для которой с.в. Z<z.

Дифференцируя выражение по z, получим плотность распределения суммы двух случайных величин:

. (2)

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y, можно записать другой вариант этой же формулы:

. (3)

Особое практическое значение имеет случай, когда случайные величины (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.

Для независимых с.в.:

, (4)

и формулы (2) и (3) принимают вид:

, (5)

. (6)

Композицию законов распределения обозначают:

,

- символ композиции.

Формулы (5) и (6) удобны, когда законы распределения (или по крайней мере, один из них) заданы одной формулой на всем диапазоне значений аргументов (от - до ). В противном случае, удобнее пользоваться непосредственно функцией распределения и продифференцировать эту функцию (т.е. вычислить G(z)).

Пример.

Составить композицию двух законов равномерной плотности, заданных на одном и том же участке (0,1):

при 0<x<1;

при 0<y<1.

Решение.

Найдем функцию распределения G(z) с. в. Z=X+Y.

Рассмотрим случайную точку (x,y) на плоскости x0y. Область её возможных положений – квадрат R со стороной, равной 1 (рис. 1).

Имеем:

где область D – часть квадрата R, лежащая левее и ниже прямой z=x+y.

Очевидно,

,

где S_D – площадь области D.

Составим выражение для площади области D при различных значениях z, пользуясь рис.1 и рис.2.

1. при z<0 G(z)=0;

2. при 0<z<1 ;

3. при 1<z<2 ;

4. при z>2 G(z)=1.

Дифференцируя эти выражения, получим:

1. при z<0 g(z)=0;

2. при 0<z<1 g(z)=z;

3. при 1<z<2 g(z)=2-z;

4. при z>2 g(z)=0.

Такой закон носит название «закона Симпсона» или закона треугольника.

Для трех случайных величин, распределенных по равномерному закону, получим график закона плотности распределения, состоящий из трех отрезков- парабол.

При 6 и более случайных величинах – закон распределения будет практически «нормальным», т. е. иметь нормальное распределение.

Об условиях возникновения нормального распределения и о причинах его широкой распространенности в случайных явлениях природы. Оно возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин x₁, x₂,…,x_n

,

(причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы).

Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин x₁, x₂,…,x_n, закон распределения их суммы X будет близок к нормальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n).

Это и есть содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей.