Лекции по метрологии / Лекция № 15

Лекция № 15

Суммирование погрешностей.

Постановка задачи: Оценить точность измерения физической величины Х по величине Y, если каждый элемент измерительной цепи вносит погрешность в результат измерения.

Рассмотрим блок-схему канала измерения:

Т. е. канал измерения содержит n средств измерений (СИ).

Рассмотрим эту задачу на примере 2-х СИ, а результаты распространим на канал с n СИ.

Будем считать, что эти СИ имеют как аддитивную, так и мультипликативную составляющие погрешности.

Тогда их можно представить следующим образом:

Здесь:

- случайные аддитивные погрешности, имеющие следующие характеристики:

, , , ;

, - случайные параметры мультипликативной погрешности, имеющие следующие характеристики:

, , , .

Запишем уравнение, связывающее выходную величину измерительного канала Y с входной x.

;

.

.

Т. к. , , то последними двумя слагаемыми можно пренебречь ввиду их малости.

Тогда

.

Найдём погрешность измерения:

.

Где

- выходная величина измерительного канала, без учета погрешностей измерения (истинное значение).

В уравнении для погрешности измерения первое слагаемое – это суммарная мультипликативная составляющая погрешности, а второе – суммарная аддитивная составляющая погрешности.

Найдем характеристики с. в. .

;

.

Отсюда

.

Определим допустимую погрешность измерения .

Для этого нам необходимо знать закон распределения суммарной погрешности .

В большинстве случаев он нам неизвестен.

Здесь обычно поступают следующим образом:

• Если складывается достаточно большое количество случайных величин, имеющих с.к.о. одного порядка величины, то согласно центральной предельной теореме теории вероятностей – суммарный закон распределения погрешности будет близок к нормальному закону;

• Имея представление о законах распределения отдельных составляющих погрешности – можно сделать приближенное представление о суммарном законе распределении;

• Если нет никакой информации – то обычно считают, что суммарная погрешность имеет нормальное распределение.

Тогда, задаваясь доверительной вероятностью , определяют квантильный множитель .

Тогда:

.

Определим следующие величины:

- абсолютная погрешность канала в начале диапазона измерения (x=0);

- абсолютная погрешность канала в конце диапазона измерения (x=x_к=x_N).

Тогда

.

Определим приведенную погрешность для начала диапазона измерения.

.

Здесь

- относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 1-го СИ ;

- относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 2-го СИ.

Введем следующее обозначение:

- суммарное относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности канала измерения.

Тогда

.

Для

.

Определим приведенную погрешность для конца диапазона измерения:

Здесь

- относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 1-го СИ;

- относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 2-го СИ.

Введем обозначения:

- суммарное относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности канала измерения;

- суммарное относительное с.к.о. погрешности измерительного канала.

Тогда приведенную относительную погрешность канала измерения для конца диапазона можно представить в следующем виде:

.

Измерительный канал нормируется следующим образом:

.

А относительная погрешность измерительного канала представляется следующим образом:

.

Т.е. аналогично, как представляется относительная погрешность для СИ, имеющего аддитивную и мультипликативную составляющие погрешности.

Очевидно, что при записи относительной погрешности в таком виде используется аппроксимация полосы погрешности канала измерения, рассмотренная ранее.

Обобщим полученный результат на n – устройств.

Тогда

;

;

.

А относительная погрешность измерительного канала определяется аналогично.

Рассмотренная задача была несколько упрощена, поскольку мы не учитывали следующие обстоятельства.

Мы предполагали, что все случайные величины, т. е. погрешности (помехи), не коррелированны между собой.

Учтем это обстоятельство, при расчете суммарной погрешности, следующим образом:

• Все погрешности, влияющие на результат измерения СИ, делятся на мультипликативные и аддитивные;

• Все погрешности представляются своими с.к.о.;

• Для коррелированных погрешностей суммирование с.к.о. проводится алгебраически:

.

Здесь - коэффициент корреляции. Знак «+» или « - » в этом выражении зависит от знака коэффициента корреляции.

• В результате все погрешности (оставшиеся и просуммированные алгебраически) будут не коррелированны между собой, и они складываются геометрически:

.

• Все остальные вычисления, по определению суммарной погрешности канала измерения остаются такими же, что были рассмотрены выше.

Рассмотрим пример на определение суммарной погрешности измерительного канала.

Пример.

Измеряется физическая величина х.

Измерительный канал имеет следующую структуру.

Здесь:

Д – датчик;

П – преобразователь;

ВП – вторичный прибор;

x – измеряемая физическая величина;

Y – показание вторичного прибора.

Известно:

Для датчика:

• Основная погрешность задана классом точности – 0,5. Распределение основной погрешности – треугольное.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,1%; колебаниями напряжения питания - .

Для преобразователя:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – равномерное.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,1%; колебаниями напряжения питания - .

Для вторичного прибора:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – нормальное. Класс точности определялся для доверительной вероятности – 0,95.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,2%; колебаниями напряжения питания - .

При этом датчик и преобразователь находятся в непосредственной близости, а датчик, преобразователь и вторичный прибор питаются от одного источника напряжения. Предполагается, что с увеличением, как температуры, так и напряжения питания выходные сигналы элементов измерительного канала увеличиваются.

Требуется оценить погрешность измерения физической величины по показаниям вторичного прибора.

Решение.

Представим измерительный канал в виде структурной схемы, на которой покажем действия случайных воздействий, приводящих к погрешности результата измерения.

1. Представим все погрешности в виде относительных с.к.о. и разделим их на аддитивные и мультипликативные.

• Для датчика:

Так как распределение основной погрешности имеет треугольный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – 0,5, то она имеет аддитивный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом:

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

• Для преобразователя:

Так как распределение основной погрешности имеет равномерный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она имеет как аддитивный, так и мультипликативный характер, а относительные с.к.о. для неё запишутся следующим образом:

;

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

• Для вторичного прибора:

Так как распределение основной погрешности имеет нормальный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она

имеет мультипликативный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом:

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

2. Проведем суммирование сначала коррелированных с.к.о.

• Так как элементы измерительного канала питаются напряжением от одного источника, то погрешности этих элементов, вызванные колебаниями напряжения коррелированны между собой. Поэтому они складываются алгебраически.

.

• Дополнительные погрешности, вызванные отклонениями температуры, так же коррелированны, но только для датчика и преобразователя, так как они находятся рядом (предполагается, что вторичный прибор находится под влиянием другой температуры). Тогда имеем:

.

3. Оставшиеся и уже просуммированные погрешности между собой не коррелированны, а поэтому складываются между собой геометрически. Проведем суммирование отдельно для аддитивных и мультипликативных составляющих погрешности.

• Для аддитивных:

.

• Для мультипликативных:

.

• Суммарное с.к.о.

.

4. Перейдем от с.к.о. к доверительным интервалам. На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, можно считать, что суммарная погрешность имеет нормальное распределение. Тогда доверительные интервалы для доверительной вероятности равной 0,95 примут следующий вид:

• .

• .

5. Запишем выражение для относительной погрешности измерительного канала:

.

Так для середины диапазона измерения относительная погрешность измерения составит:

.