Лекции по метрологии / Лекция №12

Лекция № 12.

Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такие приближенное случайное значение будем называть оценкой параметра.

Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины в n независимых опытах. При очень большом числе опытов среднее арифметическое будет с большей вероятностью весьма близко к математическому ожиданию. Если же число опытов n невелико, то замена математического ожидания средним арифметическим приводит к какой-то ошибке. Эта ошибка в среднем тем больше, чем меньше число опытов. Так же будет обстоять дело и с оценками других неизвестных параметров. Любая из таких оценок случайна. При пользовании ею неизбежны ошибки. Желательно выбрать такую оценку, чтобы эти ошибки были по возможности минимальными.

Оценка математического ожидания: среднее арифметическое с. в. Х

.

Оценка дисперсии с. в. Х

.

Оценка с.к.о. с. в. Х

.

Оценка с.к.о. среднего арифметического с. в. Х

.

Оценка дисперсии с. в.

.

В ряде задач требуется не только найти для какого-либо параметра его оценку, но и оценить его точность и надежность. Т. е. требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой, и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена может привести к серьезным ошибкам.

Иными словами, необходимо для полученной оценки найти доверительный интервал для заданной доверительной вероятности.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х, характеристики которой – математическое ожидание m и дисперсия D неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

;

.

Требуется построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности , для математического ожидания m величины Х.

При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин , и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом n её закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых (порядка 10-20) закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным.

Будем исходить их того, что величина распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона – математическое ожидание и дисперсия – равны соответственно и .

Предположим, что величина D известна, найдём такую величину для которой:

.

Выразим вероятность в левой части этого выражения через нормальную функцию распределения (интеграл Лапласа):

.

Где - среднее квадратическое отклонение оценки .

Из уравнения:

.

Находим значение :

.

Где - функция обратная .

Дисперсия D, через которую выражена величина нам в точности неизвестна, в качестве её ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой и положить приближенно:

.

Обозначить через:

.

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

.

Пример.

Произведено 20 опытов над величиной . В результате были получены следующие оценки:

Для математического ожидания: ;

Для дисперсии: ;

Для с.к.о. : .

Требуется построить доверительный интервал соответствующий доверительной вероятности .

Учитывая, что при закон распределения близок к нормальному, из таблицы для значений функции Лапласа для находим .

Отсюда .

Тогда доверительный интервал:

.

Точечные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Ранее мы рассмотрим приближенные методы построения доверительных интервалов для оценок.

Для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Доказано, что при нормальном распределении величины случайная величина:

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с степенями свободы. Плотность этого закона имеет вид:

.

Он не зависит от неизвестных параметров и , а зависит только от .

Пусть произведено независимых опытов над случайной величиной , распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами и . Для этих параметров получены оценки:

;

.

Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

, или

, или

,

где - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента.

Так как

, то

,

.

Величину - находят из таблиц распределения Стьюдента.

Отсюда

.

Доверительный интервал:

.

Пример.

Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной , распределенной нормально с неизвестными параметрами и .

i	1	2	3	4	5
Xi	-2,5	3,4	-2,0	1,0	2,1

Найти оценку для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал .

Решение.

Находим:

; .

По таблице для распределения Стьюдента для и находим: .

Откуда:

.

Доверительный интервал для математического ожидания:

.