Лекции.Сопромат / Лекция 6

Л е к ц и я 6

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

Понятие о тонкостенных осесимметричных оболочках. Допущения и пределы применимости безмоментной теории оболочек. Основные уравнения безмоментной теории оболочек. Определение напряжений в тонкостенных оболочках различной формы. Расчет на прочность. Порядок проектного расчета тонкостенного сосуда.

Понятие о тонкостенных осесимметричных оболочках

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями. Наименьшее расстояние между этими поверхностями является толщиной оболочки. Если толщина значительно меньше других размеров, то оболочка называется тонкостенной.

Множество точек, равноотстоящих от ограничивающих оболочку поверхностей, называется срединной поверхностью. Часто срединная поверхность представляет собой фигуру вращения, т.е. может быть получена путем вращения некоторой кривой линии относительно прямой. В этом случае оболочка называется осесимметричной.

В зависимости от формы срединной поверхности осесимметричная оболочка может быть цилиндрической, конической, сферической и т.д. Если средина поверхность является плоскостью, то оболочка называется пластиной.

Допущения и пределы применимости

безмоментной теории оболочек.

Во многих случаях осесимметричная оболочка нагружена осесимметричной внешней нагрузкой. Это имеет место, например, при действии на оболочку внутреннего давления жидкости или газа. Оболочка, заполненная жидкостью или газом, называется сосудом.

Для расчета тонкостенных сосудов применяется безмоментная теория оболочек. При разработке этой теории принято допущение, что напряжения равномерно распределено по толщине стенки оболочки (рис. 6.1). В этом случае оболочка будет испытывать только деформацию растяжения (сжатия).

Безмоментная теория оболочек применима при следующих условиях:

а) оболочка не имеет мест с резким изменением формы;

б) отсутствуют жесткие защемления оболочки;

с) толщина оболочки является малой

где ρ_min – минимальный радиус кривизны срединной поверхности оболочки.

чем меньше толщина оболочки, тем ближе к истине предполагаемый закон постоянства напряжений по толщине стенки и тем более точные результаты дает безмоментная теория.

В зонах резкого изменения формы и жестких защемлений в стенке оболочки возникают изгибающие моменты и допущение о равномерности распределения напряжений по толщине является не приемлемым. Однако по мере удаления от указанных зон влияние изгиба быстро уменьшается. Поэтому безмоментная теория может быть использована для расчета участков, достаточно удаленных от указанных зон.

Основные уравнения безмоментной теории оболочек

Рассмотрим осесимметричную оболочку толщиной δ (рис. 6.2). Обозначим через ρ_m радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности, а через ρ_t —второй главный радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана (рис.6.2а). Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии. Радиусы ρ_m, и ρ_t являются в общем случае функцией угла  — угла между нормалью и осью симметрии.

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (рис. 6.2б) вырежем из оболочки элемент с размерами ds₁ и ds₂ (рис 6.3). Со стороны отброшенной части оболочки на грани элемента действуют напряжения: меридиональное σ_m и окружное σ_t.

Для определения двух неизвестных напряжений необходимо иметь два уравнения. Первое уравнение получим из условия равновесия вырезанного элемента. Спроецируем все силы, действующие на элемент, на направление вектора внешней нормали к срединной поверхности элемента. Напряжения σ_m и σ_t, умноженные на площади соответствующих граней элемента, дадут силы σ_mδds₂ и σ_tδds₁, а произведение внутреннего давления p на площадь внутренней поверхности элемента - силу нормального давления рds₁ds₂.

И звестно, что если на криволинейную поверхность площадью А действует давление р (рис. 6.4), то проекция силы, обусловленной этим давлением, на ось α равна произведению давления p на площадь A_α проекции этой поверхности на плоскость, перпендикулярную оси α

(6.1)

Составляя с учетом (6.1) уравнение равновесия и принимая во внимание, что при малом угле α , получаем

(6.2)

Выполнив в (6.2) сокращение всех слагаемых на , будем иметь

(6.3)

Соотношение (6.3) называется уравнением Лапласа.

Разрежем оболочку (см. рис. 6.2) плоскостью, перпендикулярной к ее оси симметрии, на две части и оставим верхнюю часть (рис. 6.5). Второе уравнение получим из условия равновесия отсеченной (оставшейся) части. Составляя сумму проекций всех сил, действующих на отсеченную часть, на ось симметрии z и приравнивая ее нулю, находим

(6.4)

где F – равнодействующая внешних сил, действующих на отсеченную часть.

Выражение (6.4) называется уравнением равновесия отсеченной части оболочки.

Определение напряжений в тонкостенных

оболочках различной формы

1. Отсеченная часть оболочки представляет собой цилиндр с жидкостью (рис. 6.6).

На данную часть действуют давление p со стороны верхней отброшенной части жидкости и вес Q оставшейся в отсеченной части жидкости. Вес оставшейся жидкости вычисляется по формуле

где γ – удельный вес жидкости; V – объем жидкости в отсеченной части.

Равнодействующая внешних сил равна

(6.5)

Подставляя (6.5) в (6.4), находим

Из уравнения Лапласа (6.3) следует, что

(6.6)

Для цилиндра радиусы кривизны срединной поверхности равны

(6.7)

Подставив (6.7) в (6.6), получаем

2. Отсеченная часть оболочки является конусом с жидкостью (рис. 6.7).

На конус аналогично цилиндру действуют давление p со стороны верхней отброшенной части жидкости и вес Q оставшейся жидкости. Вес жидкости в конусе равен

Используя (6.5), находим равнодействующую внешних сил

(6.8)

Радиус R_z является функцией координаты z

(6.9)

Подставляя (6.8) и (6.9) в (6.4), получаем

Из рис. 6.7 с учетом (6.9) находим радиусы кривизны срединной поверхности конуса

(6.10)

Используя формулы (6.6) и (6.10), имеем

3. Отсеченная часть оболочки представляет собой сферический сегмент с жидкостью (рис. 6.8).

На сегмент действуют давление p со стороны верхней части жидкости и вес Q оставшейся жидкости. Вес жидкости в сферическом сегменте равен

Находим равнодействующую внешних сил

(6.11)

Из рис. 6.8 определяем

(6.12)

Подставляя (6.11) и (6.12) в (6.4), получаем

Радиусы кривизны срединной поверхности сферического сегмента равны

(6.13)

Из (6.6) и (6.13), находим

В том случае, когда рассматривается верхняя отсеченная часть оболочки, в формулах для определения меридиональных напряжений знак плюс перед слагаемым, содержащим вес жидкости γ, нужно заменить на знак минус. Если в формулы для напряжений подставить p_z = p₀ и γ =0, то получатся зависимости для определения напряжений в стенке оболочки, нагруженной давлением газа p₀.

Расчет на прочность

Расчет оболочки на прочность выполняется для опасного сечения по эквивалентному напряжению

(6.14)

Опасным является сечение, в котором эквивалентное напряжение достигает максимальное значение. Условие прочности имеет вид

(6.15)

Порядок проектного расчета тонкостенного сосуда

1. Изобразить в масштабе схему сосуда и определить число расчетных участков. Границами участков являются сечения, в которых

1. изменяется форма сосуда;

2. расположено закрепление сосуда;

3. находится свободная поверхность жидкости.

2. Вычислить значения и построить эпюру внутреннего давления p_z. Внутреннее давление равно

для участков с газом

для участков с жидкостью, над которой находится газ

где p₀ – давление газа; γ – удельный вес жидкости; h – глубина погружения в жидкость. Для построения эпюры значения давления найти на границах и посередине каждого участка.

3. Определить значения и построить эпюры напряжений σ_m и σ_t. Разрезать сосуд в пределах каждого участка плоскостью на две части и оставить ту часть, которая не содержит закрепления. Указать силы, действующие на отсеченную часть. По формуле (6.4) определить напряжение σ_m, а из формулу (6.3) – напряжение σ_t. Значения напряжений найти на границах и посередине каждого участка. По результатам расчета построить эпюры.

4. По эпюрам σ_m и σ_t определить положение опасного сечения, для которого эквивалентное напряжение (6.14) имеет максимальное значение. Используя условие прочности (6.15), найти необходимую толщину стенки сосуда.

6