Понятие о геометрических характеристиках сечения

В формулы курса “Сопротивление материалов” входят различные геометрические характеристики поперечного сечения стержня. Величины этих характеристик зависят от формы и размеров поперечного сечения. Рассмотрим в системе координат ОXY произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня) площадью А (рис. 2.7).

Выделим в плоскости фигуры элемент площади dA с координатами х, у и определим основные геометрические характеристики поперечного сечения стержня, как взятые по всей площади А суммы произведений элементарных площадей dA на их расстояния х и у (в соответствующих степенях) до осей Y и X.

Статические моменты сечения относительно осей X и Y равны

.

Статические моменты измеряются в единицах длины в третьей степени (например, в м³).

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной осью сечения. Точка пересечения двух центральных осей является центром тяжести сечения. Если в системе координат ОXY известны статические моменты сечения S_x и S_y, то координаты центра тяжести сечения в данной системе координат определяются по формулам

Осевые моменты инерции поперечного сечения вычисляются по формулам

Центробежный момент инерции сечения равен

Полярный момент инерции сечения определяется как

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (например, в м⁴).

Пусть известны моменты инерции I_x, I_y, I_xy сечения относительно центральных осей X, Y. Моменты инерции ,,относительно нецентральных осей X₁, Y₁, параллельных осям X и Y равны

= +,=+,=,

где a, b − координаты начала отсчета осей X₁,Y₁ в системе координат X,Y.

При повороте осей координат на произвольный угол (рис. 2.8) сумма двух осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не изменяется и равна полярному моменту инерции

+ =+=.

Существует такое значение угла поворота  осей координат, при котором центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции одновременно достигают один своего максимального (I_max), а другой минимального (I_min) значений. Угол , при котором выполняется это свойство, находится из соотношения

.

Оси, для которых выполняется это свойство, называются главными осями инерции сечения. Моменты инерции сечения относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные моменты инерции сечения вычисляются по формулам

.

Ось симметрии сечения является главной центральной осью.

Осевые моменты сопротивления сечения равны

где y_max, x_max − координаты точек, наиболее удаленных от осей x и y соответственно.

Полярный момент сопротивления сечения определяется как

где ρ_max − координата точки, наиболее удаленной от полюса (центра круга).

Моменты сопротивления сечения измеряются в единицах длины в третьей степени (например, в м³).

Радиусы инерции сечения равны

Геометрические характеристики прямоугольного и круглого сечений

Прямоугольное сечение (рис. 2.9)

Осевые моменты инерции сечения

Осевые моменты сопротивления сечения

Круглое поперечное сечение (рис. 2.10)

Осевые моменты инерции и сопротивления сечения

Полярные моменты инерции и сопротивления сечения

9