Лекции.Сопромат / Лекция 5

Л е к ц и я 5

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ, НАХОДЯЩИХСЯ

В УСЛОВИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОГО НАГРУЖЕНИЯ

Определение напряжений и расчет на прочность при косом изгибе. Определение напряжений и расчет на прочность при совместном действии изгиба и кручения. Порядок проектного расчета вала, работающего на изгиб с кручением.

Определение напряжений и расчет на прочность

при косом изгибе

Изгиб называется косым, если плоскость изгиба (плоскость, в которой происходит искривление оси балки), не совпадает с плоскостью действия изгибающего момента. Косой изгиб происходит тогда, когда силовая линия (линия пересечения плоскости действия изгибающего момента с поперечным сечением) не совпадает с главной центральной осью сечения (рис. 5.1).

В ыполнив проецирование действующего в сечении изгибающего момента на две взаимно перпендикулярные плоскости, каждая из которых содержит главную центральную ось сечения, косой изгиб можно представить в виде суперпозиции двух прямых изгибов (рис. 5.2).

Напряжение при косом изгибе равно сумме напряжений, обусловленных действием двух прямых изгибов

(5.1)

где M_X, M_Y – изгибающие моменты; I_X, I_Y – моменты инерции сечения; x, y - координаты точки, в которой определяется напряжение.

Линия, в точках которой нормальное напряжение равно нулю, называется нейтральной. Из (5.1) следует, что уравнение нейтральной линии имеет вид

. (5.2)

Так как точка с координатами x = 0, y = 0 удовлетворяет уравнению (5.2), то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Из курса математики известно, что две прямые

перпендикулярны, если их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

(5.3)

Нейтральная линия перпендикулярна плоскости изгиба. Из (5.2) и (5.3) следует, что уравнение следа плоскости изгиба на плоскости поперечного сечения имеет вид

В общем случае I_X ≠ I_Y. Поэтому след плоскости изгиба не совпадает с силовой линией

и изгиб является косым. Если у сечения I_X = I_Y (круг, квадрат), то изгиб будет прямым.

Преобразуем формулу (5.1) в систему координат UV, ось U которой совпадает с нейтральной линией сечения (рис. 5.3). Взаимосвязь между координатами x,y и u,v определяется соотношениями

(5.4)

Подставив (5.4) в (5.1), получаем

Найдем множитель при координате u. Используя данные рис. 5.2 и 5.3, имеем

Таким образом, установлено, что в системе координат u,v напряжение линейно зависит только от координаты v. Отсюда следует, что при косом изгибе максимальное напряжение действует в точке сечения, наиболее удаленной от нейтральной линии.

Для определения положения наиболее удаленной точки необходимо провести две касательные к сечению, параллельные нейтральной линии. Одна из точек касания является самой удаленной (рис. 5.4).

Расчет на прочность выполняется для опасного сечения с использованием условия

(5.5)

где x^*, y^* - координаты наиболее удаленной точки сечения.

Опасным является сечение, в котором |M_X| и |M_y| одновременно достигают максимальных значений. Если максимумы |M_X| и |M_y| расположены в разных сечениях, то для каждого из данных сечений нужно вычислить по (5.5) σ_max и для расчета использовать наибольшее из этих напряжений.

Для сечений c угловыми точками, т.е. точками, одновременно наиболее удаленными от главных центральных осей сечения (двутавр, прямоугольник), неравенство (5.5) принимает вид

(5.6)

где W_X, W_Y – моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей сечения X и Y.

Расчет на прочность при косом изгибе выполняется в следующей последовательности.

1. Определить положение главных центральных осей сечения X и Y.

2. Изобразить схему сил, действующих на балку в плоскости YZ, вычислить значения изгибающего момента М_X от вертикальных сил и построить эпюру М_X.

3. Изобразить схему сил, действующих на балку в плоскости XZ, определить значения изгибающего момента М_Y от горизонтальной нагрузки и построить эпюру М_Y.

4. По эпюрам М_X и М_Y найти положение опасного сечения. Если максимальные значения |M_X| и |M_y| расположены в разных сечениях, то для каждого сечения вычислить σ_max и для расчета использовать наибольшее из этих напряжений. Из условия прочности (5.5) или (5.6) определить искомые параметры.

Определение напряжений и расчет на прочность

при совместном действии изгиба и кручения.

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, нагруженный внешней нагрузкой (рис. 5.5). При указанной нагрузке в поперечном сечении стержня будут возникать:

от действия силы F_x – поперечная сила Q_x и изгибающий момент M_y;

от действия силы F_y – поперечная сила Q_y и изгибающий момент M_x;

от действия скручивающего момента M_z – крутящий момент T.

Практика расчета на прочность показывает, что для стержня круглого поперечного сечения поперечные силы Q_x и Q_y не оказывают существенного влияния на оценку прочности и с целью упрощения расчета ими можно пренебречь. Вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня действуют крутящий и изгибающий (изгибающие) моменты (рис. 5.6), называется изгибом с кручением.

При изгибе с кручением в каждой точке поперечного сечения стержня действуют напряжение кручения τ и напряжение изгиба σ. При изучении кручения было установлено, что максимальные напряжения кручения возникают в точках наружной поверхности стержня и определяются по формуле

(5.6)

где T – крутящий момент в сечении; W_p – полярный момент сопротивления сечения.

При рассмотрении косого изгиба было получено, что при одновременном действии в сечении изгибающих моментов M_x и M_y напряжение изгиба равно

(5.7)

где M_X, M_Y – изгибающие моменты; I_X, I_Y – осевые моменты инерции сечения; x, y - координаты точки, в которой определяется напряжение.

Для стержня круглого поперечного сечения

(5.8)

С учетом (5.8) формула (5.7) принимает вид

(5.9)

Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной системе координат (рис. 5.7). Взаимосвязь координат x,y и ρ,φ определяется соотношениями

(5.10)

Подставив (5.10) в (5.9), находим

(5.11)

Из формулы (5.11) следует, что наибольшее напряжение изгиба действует в точках наружной поверхности стержня и равно

(5.12)

где W – осевой момент сопротивления сечения.

Определим максимальное напряжение изгиба. Выполнив дифференцирование (5.12) по φ, будем иметь

(5.13)

Выразив в (5.12) тригонометрические функции через функцию тангенса

и используя (5.13), находим

(5.14)

где M_сум – суммарный изгибающий момент.

Таким образом, при изгибе с кручением опасными являются точки, расположенные на наружной поверхности стержня в плоскости действия суммарного изгибающего момента (рис.5.10). Положение данной плоскости определяется углом φ^*, который находится по зависимости (5.13).

При одновременном действии в сечении нормальных и касательных напряжений оценка прочности выполняется по эквивалентному напряжению

(5.15)

Подставив (5.6) и (5.14) в (5.15) и учитывая, что для круглого поперечного сечения

получаем

(5.16)

где M_э – эквивалентный изгибающий момент.

Расчет на прочность выполняется для опасного сечения. Опасным является сечение, в котором эквивалентный изгибающий момент достигает максимального значения. Условие прочности имеет вид

(5.17)

Перед расчетом вала необходимо составить его расчетную схему. Для того чтобы получить расчетную схему нужно привести силы, действующие на диски (зубчатые колеса, шкивы, звездочки), расположенные на валу, к оси вала.

Р ассмотрим приведение сил, действующих на шкив (звездочку) (рис. 5.14а).

Приведем усилия натяжения t и 2t ремня (цепи) к оси С вала диаметром d в месте посадки шкива (звездочки) с диаметром D. Из курса теоретической механики известно, что при параллельном переносе силы появляется момент, равный произведению силы на наименьшее расстояние между ее старой и новой линиями действия. В нашем случае в результате переноса сил t и 2t появляются моменты М и 2М (рис 5.14б), где M = tD/2.

Заменяя подобные силы (моменты) их равнодействующими, получим, что в месте посадки шкива на вал действует сила 3t и скручивающий момент М (рис.5.14в). Момент М направлен в направлении вращения силы 2t относительно оси вала.

Приведем к оси вала силы, действующие на зубчатое колесо (рис. 5.15а). Перенесем радиальную силу F_r вдоль линии действия, а окружную силу F_t – параллельно линии действия. В результате получим, что в месте расположения зубчатого колеса на вал в направлении оси X действует сила F_t, в направлении оси Y – сила F_r, а в плоскости осей XY – скручивающий м омент M = F_tD/2, направленный в направлении вращения силы F_r относительно точки C (рис. 5.15б).

Порядок проектного расчета вала, работающего

на изгиб с кручением.

1. Составить расчетную схему вала. В задании дана схема с расположенными на валу дисками (зубчатые колеса, шкивы, звездочки), на которые действуют внешние силы. Для того чтобы получить расчетную схему вала необходимо действующие на диски силы привести к оси вала.

3. Изобразить схему сил, действующих на вал в вертикальной плоскости, вычислить значения изгибающего момента М_X от вертикальных сил и построить эпюру М_X.

4. Изобразить схему сил, действующих на вал в горизонтальной плоскости, определить значения изгибающего момента М_Y от горизонтальной нагрузки и построить эпюру М_Y.

5. Найти значения суммарного изгибающего момента и построить эпюру М_сум . (Для каждого поперечного сечения вала имеется своя плоскость действия суммарного изгибающего момента, но для круглого сечения можно совместить плоскости M_сум для всех поперечных сечений и построить суммарную эпюру в плоскости чертежа). При построении эпюры учесть, что для некоторых участков вала она не будет прямолинейной.

5. Изобразить схему действующих на вал скручивающих моментов, определить значения крутящего момента и построить эпюру Т.

6. По эпюрам М_сум и Т найти опасное сечение вала. Опасным является сечение, в котором действует максимальный эквивалентный момент. Вычислить для опасного сечения значение . Из условия прочности опасного сечения определить необходимый диаметр вала и округлить его величину до ближайшего большего значения, кратного пяти миллиметрам.

8