4.2. Ранг системы векторов

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Ранг системы векторов a₁, a₂ …, a_n будем обозначать символом r(a₁, a₂ …, a_n)

Отметим простейшие свойства системы векторов.

1. Ранг системы векторов не превосходит числа векторов в системе.

2. Если система векторов линейно зависима, то ее ранг строго меньше количества векторов в системе.

3. Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количеству векторов в системе.

4. Пусть ранг системы a₁, a₂ …, a_n равен r , тогда каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является базисом. Отсюда следует, что система a₁, a₂ …, a_n имеет столько различных базисов, сколько она содержит различных линейно независимых частей из r векторов.

При помощи метода Гаусса можно найти все базисы системы векторов.

4.3. Ортогональные системы векторов

Вектора a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Ясно, что нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Ненулевые вектора ортогональны, если угол между ними равен 90°.

Система векторов a₁, a₂, …, a_n называется ортогональной, если любые два вектора a_i и a_j (i ≠ j) ортогональны.

Важным примером ортогональной системы является диагональная система векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1.

Итак, для ортонормированной системы a₁, a₂, …, a_n

.

4.4. Ортогонализация системы векторов

Покажем, что каждую линейно независимую систему векторов можно преобразовать в ортогональную систему.

В основе построения ортогональной системы, лежит понятие ортогональной составляющей вектора относительно системы векторов. Вектор

называется ортогональной составляющей вектора а относительно ортогональной системы ненулевых векторов b₁, b₂, …, b_n.

Ортогональная составляющая а⁰ вектор а относительно ортогональной системы не нулевых векторов b₁, b₂, …, b_n ортогональна каждому вектору этой системы.

Действительно:

,

так как b_ib_j=0 для i≠j.

Пример. Найти ортогональную составляющую вектора а=(1, 1, 1, -1) относительно ортогональной системы b₁=(1, 0, 1, 0); b₂=(-1, 1, 1, 1); b₃=(1, 1, -1, 1).

Имеем:

=2; 2; 0; =0

4.5. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Дана линейно независимая система векторов

b₁, b₂,…, b_l, a_l+1,…, a_n l ≥ 1 (1)

часть, которой ортогональна, обозначим b_l+1 ортогональную составляющую вектора а_l+1 относительно ортогональной системы b₁, …, b_l. .

Тогда

1. Система векторов

b₁, b₂, …, b_l, b_l+1, a_l+2, …, a_n (2)

эквивалентна (1).

2. Система векторов (2) линейно независима, а ее часть b₁, b₂ …, b_l+1 – ортогональна.

Используя, понятие ортогональной составляющей, опишем процесс превращения линейно независимой системы а₁, …, а_n в ортогональную систему b₁, …, b_n ненулевых векторов, который называется ортогонализацией системы а₁, …, а_n.

Этот процесс состоит из n–шагов, n–число векторов в исходной системе а₁, …, а_n.

1 шаг. Полагаем b₁=a₁ и получаем систему

b₁, a₂, …, a_n (3)

2 шаг. Заменим в системе (3) вектор а₂ ортогональной составляющей относительно b₁, и получим систему:

b₁, b₂, a₃,…, a_n (4)

Согласно шагам ортогонализации система (4) линейно независима, а ее часть b₁, b₂–ортогональна.

Предположим, что уже построена линейно независимая система

b₁, b₂, …, b_k-1, a_k,…, a_{n ,} (5)

у которой b₁, b₂, …, b_k-1 – ортогональны.

На к-том шаге к = 3, n заменим в системе (5) вектор а_к его ортогональной составляющей относительно системы b₁, b₂, …, b_k-1 и получим систему b₁, …,b_k, a_k+1, …, a_n.

После выполнения n–го шага получим линейно независимую и ортогональную систему векторов b₁, …, b_n.

Замечание. Если исходная система а_1, …, а_n ортогональна, то ортогонализация не изменит ее.

Пример. Подвергнуть ортогонализации независимую систему векторов

а₁=(2, 0, 1, 1); а₂=(1, 2, 0, 1; а₃=(0, 1, -2, 0)

Теорема. Если вектор b разлагается по ортогональной системе a₁, a₂, …, a_n ненулевых векторов,

,

то коэффициенты разложения могут быть рассчитаны так:

, .