- •Министерство образования и науки рф
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Матрицы
- •1.1. Действия с матрицами
- •1.2. Определители матриц второго и третьего порядка
- •1.3. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца
- •1.4. Обратная матрица
- •2.N-мерные векторы
- •2.1. Линейные операции надn-мерными векторами
- •2.2. Скалярное произведение и длинаn-мерных векторов
- •2.3. Угол междуn-мерными векторами
- •2.4. Коллинеарные векторы
- •2.5. Разложение вектора по системе векторов
- •2.6. Векторная форма записи системы линейных уравнений
- •2.7. Задания
- •3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •3.1 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов
- •3.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
- •3.3. Задания
- •4. Базис и ортогонализация системы векторов
- •4.1. Базисы системы векторов
- •4.2. Ранг системы векторов
- •4.3. Ортогональные системы векторов
- •4.4. Ортогонализация системы векторов
- •4.5. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
- •4.6. Задания
- •5. Ранг, транспонирование и след матрицы
- •5.1. Ранг матрицы
- •5.2. Транспонирование матрицы
- •5.3. Свойства транспонированных матриц
- •5.4. След матрицы
- •5.5. Различные классы квадратных матриц
- •5.6. Задания
- •6. Нахождение собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы
- •6.1. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы
- •6.2. Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц
- •6.3. Частичные проблемы собственных значений
- •6.4. Задания
- •7. Квадратичные формы
- •7.1. Свойства знака суммирования
- •7.2. Понятие квадратичной формы
- •7.3. Канонический базис квадратичной формы
- •7.4. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания
- •Контрольные вопросы и задания
- •Библиографический список
- •Для заметок
3.3. Задания
Выяснить, является ли данная система векторов А1, А2, А3 линейно зависимой или линейно независимой:
А1, А2, А3 (упражнение 1a);
А1, А2, А3, А4 (упражнение 1b);
А1, А2, А3, А4 (упражнение 1c).
Доказать, что четыре вектора А1=(1,0,0), А2=(0,1,0), А3=(0,0,1), А4=(1,1,1) образуют линейно зависимую систему, но любые три из них линейно независимы.
Установить, что система векторов линейно зависима, если она содержит:
два равных вектора;
два пропорциональных вектора.
Дана линейно независимая система векторов А,В,С. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
А+В, В+С, С+А;
А+В, С-В, С+А.
Доказать, что два ненулевых n-мерных вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
Упражнения 1a, 1b, 1c выполняются по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 2
|
№ варианта |
Вектора | ||||
|
Упражнение 1а |
Упражнение 1b |
Упражнение 1с | |||
|
A1 A2 A3 |
A1 A2 A3 |
А4 |
A1 A2 A3 |
А4 | |
|
1 |
2 |
3 |
4 | ||
|
|
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0 |
1 1 1 4 |
-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2 1 1 1 |
1 1 1 4 4 |
|
|
1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0 |
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
-5 5 1 4 |
-3 -1 5 5 2 3 1 1 1 5 2 1 2 1 2 |
-5 5 1 2 4 |
Продолжение таблицы 2
|
1 |
2 |
3 |
4 | ||
|
|
1 -1 1 0 2 0 -2 2 0 -2 2 0 |
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 |
-3 3 1 4 |
-2 -2 -2 1 1 1 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 1 3 1 4 |
|
|
1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2 |
1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0 |
-2 3 1 4 |
-1 0 -4 3 2 3 0 2 0 0 2 1 2 1 2 |
-2 3 1 4 0 |
|
|
1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1 |
1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2 |
0 4 2 4 |
-1 0 0 1 2 5 0 2 0 1 2 1 2 1 2 |
0 4 5 -2 4 |
|
|
1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0 |
1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1 |
0 1 2 4 |
-1 0 0 1 2 3 0 2 1 1 4 2 2 1 2 |
0 1 2 4 3 |
|
|
0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 |
1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0 |
-3 3 1 4 |
-1 -1 -2 1 4 2 0 2 3 0 2 1 2 1 2 |
-3 3 4 1 4 |
|
|
1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0 |
0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 |
0 1 2 4 |
-1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 2 |
0 1 2 4 1 |
|
|
1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0 |
1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0 |
0 0 1 1 |
4 2 0 1 1 2 0 2 3 0 0 1 3 0 0 |
0 0 -3 1 1 |
|
|
1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3 |
2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0 |
0 3 1 4 |
1 1 -2 0 2 1 0 5 0 0 1 0 2 1 1 |
0 3 2 1 4 |
Окончание таблицы 2
|
1 |
2 |
3 |
4 | ||
|
|
2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0 |
1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3 |
-3 3 2 4 |
-1 0 -2 0 5 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2 |
-3 0 3 2 4 |
|
|
5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1 |
3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2 |
-1 2 1 1 |
1 4 4 0 1 3 1 4 3 2 1 4 0 1 0 |
-1 2 3 1 1 |
|
|
3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2 |
5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1 |
0 2 1 1 |
1 4 3 -2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1 |
3 0 2 1 1 |