3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

3.1 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Система векторов а₁, а₂, …, а_n называется линейно зависимой, если система уравнений

a₁x₁ + a₂x₂ + … + а_nx_n = 0 (1)

имеет ненулевое решение, если же система уравнений не имеет ненулевых решений, то система векторов a₁, a₂ …, a_n называется линейно независимой.

Будем говорить, что набор чисел k₁, k₂, … k_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел K отлично от нуля.

Для линейно зависимых систем векторов (линейно независимых) справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов, состоящая из одного вектора a ≠ 0 линейно независима.

В самом деле, из любого соотношения кa = 0 и a ≠ 0 к=0, что и означает линейную независимость системы.

2. Диагональная система векторов

; ; …,

линейно независима. Запишем систему уравнений

e₁x₁+e₂x₂+…e_nx_n = 0 (2)

в виде таблицы

x1	x2	…	xn
1	0	…	0	0
0	1	…	0	0
…	…	…	…	0
0	0	…	1	0

Откуда ясно, что система уравнений (2) имеет единственное решение x₁=0; x₂=0…x_n=0, т. е. не имеет не нулевых решений и поэтому диагональная система векторов линейно независима.

1. Система векторов a₁, a₂ …, a_n линейно зависима, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным векторам этой системы.

Пусть какой-нибудь вектор разлагается по остальным векторам системы

a₁=l₂a₂+l₃a₃+…+l_na_n (3)

Представим (3) в виде

a₁+l₂a₂+l₃a₃…+l_na_n=0.

Так как набор чисел (решение) , l₂, l₃…, l_n – ненулевой, система векторов a₁, a₂,…,a_n–линейно зависима.

2. Система m мерных векторов a₁, a₂,…, a_n линейно зависима, если n>m.

Действительно, система уравнений

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0 (4)

содержит m уравнений и n неизвестных.

Так как по условию n>m, то из утверждения «система линейных однородных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение» вытекает, что система уравнений (4) обладает ненулевым решением. Следовательно, система векторов a_1, a_2,…, a_n линейно зависима.

3.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1. Непосредственно из определений видно, что каждая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.

2. Если часть системы векторов a₁, a₂, …, a_n линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Допустим, что часть, состоящая из векторов a₁, a₂,…, a_p линейно зависима, т. е. k₁a₁+k₂a₂+…k_pa_p=0 и k₁, k₂…k_p ненулевой набор чисел. Тогда соотношение

k₁a₁+k₂a₂+…+ k_pa_p+a_p+1+a_p+2+…+a_n=0

выполняется с ненулевым набором чисел.k₁, k₂…k_p, 0,…,0 – что и означает линейную зависимость системы a₁,…,a_n.

3. Если система векторов a₁, …, a_n линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

Докажем это свойство от противного. Предположим, что часть системы линейно зависима. Тогда из свойства (2) следует, что и вся система линейно зависима, однако это противоречит условию. Следовательно, любая часть данной системы линейно не зависима.

4. Если система векторов a₁, a₂,…, a_n линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным ее векторам.

5. Если система векторов a₁, a₂,…, a_n линейно зависима, а ее часть a₁…, a_n-1 линейно независима, то вектор a_n разлагается по векторам a₁, a₂,…, a_n-1.

Пример. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

a₁=(3, 5, 1, 4), a₂=(-2, 1,-5, -7), a₃ = (-1, -2, 0, -1)

Преобразуем систему линейных уравнений

a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=0 методом Гаусса, (столбец свободных членов состоит только из нулей и не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать)

X1	X2	X3
3	-2	-1
5	1	-2
1	-5	0
4	-7	-1
-3	2	1 (1) (2)
-1	5	0
1	-5	0
1	-5	0

X1	X2	X3
0	-13	1
1	-5	0
0	0	0
0	0	0

(-1)

(3)

Общее решение уравнения имеет вид

Получаем эквивалентную систему:

Эта система имеет ненулевое решение (5, 1, 13). Следовательно, векторы a_1, a₂, a₃ линейно зависимы.

Пример. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

a₁=(-20, -15, -4); a₂=(-7, -2, -4); a₃ = (3, -1, -2).

Преобразуем систему линейных уравнений

x₁ a₁+x₂ a₂+x₃ a₃=0

методом Гаусса

X3	X2	X3
-20	-7	3
-15	-2	-1
-4	-4	-2
-26	-13	0
-13	0	0
2	2	1 (1) (-3)
2	1	0
-13	0	0
-2	0	1
0	1	0
1 (-2)	0	0
0	0	1 (2) (-2)

Общее решение системы имеет вид x₁=0; x₂=0;.x₃=0.

Эта система не имеет ненулевых решений, таким образом, система векторов a₁, а₂, а₃ линейно независима.