7.4. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма F(x) называется положительно определенной, если F(x) на каждом ненулевом векторе  больше 0, т.е. F(a)>0, если 0, Rⁿ. Если же F(a)<0 0, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма F(x)=x(Ax), – ее канонический базис, а выражение,– канонический вид формы в базисе.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда>0.

2. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда<0.

3. Квадратичная форма положительно определена, если все собственные значения ее матрицы положительны.

Справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные минорыматрицыположительны.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицынечетного порядка отрицательны, а все главные миноры четного порядка – положительны.

7.5. Задания

1. Найти матрицу квадратичной формы f (см. пример на стр. 65-66). Найти канонический вид и канонический базис формы по методу Якоби (см. пример на стр. 70-72). Найти положительный и отрицательный индексы формы (см. пример на стр. 72-73) табл.8.

2. Найти все значения параметра , при которых положительно определены следующие квадратичные формы (табл. 9., варианты 1-7) и отрицательно определены формы (табл. 9., варианты 8-14).

3а) Написать квадратичную форму , зная матрицу этой формы

.

3b) Найти ортонормированный базис из собственных векторов и канонический вид формы в этом базисе (см. пример на стр. 58-59).

3с) Является ли форма положительно определенной, чему равны положительный и отрицательный индекс формы?

4. Решить задачу 3 для матрицы .

Таблица 8

Вариант	Квадратичная форма
1	2
1	-
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Таблица 9

Вариант	Квадратичная форма
1	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Контрольные вопросы и задания

1. Линейные операции над n-мерными векторами.

2. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов.

3. Угол между n-мерными векторами.

4. Разложение вектора по системе векторов.

5. Векторная форма системы линейных уравнений.

6. Что такое линейно зависимая и линейно независимая система векторов?

7. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

8. Что такое базис системы векторов?

9. Что такое ранг системы векторов?

10. Базис и размерность n-мерного пространства.

11. Ортогонализация системы векторов.

12. Матрица. Определение.

13. Квадратная, диагональная, единичная, обратная, транспонированная матрица. Определение.

14. Как сложить две матрицы?

15. Как перемножить две матрицы?

16. Как умножить матрицу на вектор?

17. Минор k-го порядка произвольной матрицы.

18. Что такое невырожденный минор?

19. Какой минор называется базисным?

20. Способы определения ранга матрицы.

21. Как найти алгебраическое дополнение элемента матрицы?

22. Основные свойства транспонированных матриц.

23. Что такое след матрицы?

24. Классы квадратных матриц: симметрические, кососимметрические, ортогональные.

25. Собственные значения матрицы.

26. Собственные векторы матрицы.

27. Свойства собственных векторов матрицы.

28. Базис пространства Rn и собственных векторов матрицы.

29. Встроенные функции MathCad для определения следа, ранга, собственных значений и собственных векторов матриц.

30. В чем заключается частичная проблема собственных значений матрицы?

31. Что такое квадратичная форма?

32. Что такое матрица квадратичной формы?

33. Что такое канонический базис квадратичной формы?

34. Что такое положительно и отрицательно определенная квадратичная форма?