6.3. Частичные проблемы собственных значений

Часто в практических вычислениях нужны не все собственные значения, а лишь некоторые из них.

Для решения частичной проблемы собственных значений, состоящей в определении одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов, обычно используют итерационные методы. Строится такой итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, причем используемые алгоритмы весьма экономичны.

Построим итерационный процесс, применяя метод итераций к решению систем уравнений

(11)

Представим (11) через вспомогательный вектор у:

(12)

Пусть х⁽⁰⁾–начальное приближение собственного вектора х, причем собственные векторы на каждой итерации нормированы, так что

Используя соотношение (12), получим:

или, применяя умножение обеих частей равенства скалярно на х⁽⁰⁾, получим , учитывая, что, запишем

Следующие приближения можно вычислить, нормируя у⁽¹⁾. Окончательно итерационный процесс записывается в виде:

(13)

Процесс (13) продолжается до установления постоянных значений λ и х. При этом нужно учесть, что, применяя критерии завершения итераций, следует проверять близость векторов и.

Можно показать, что найденное значение λ является наибольшим по модулю собственным значением данной матрицы А, а х – соответствующим ему вектором.

Скорость сходимости этого итерационного процесса зависит от удачного выбора начального приближения.

Для решения системы (11) можно использовать и другие итерационные методы.

В некоторых задач нужно искать не наибольшие, а наименьшие по модулю собственные значения матрицы А. В этом случае можно умножить (11) на матрицу А^-1

(14)

(15)

Следовательно, 1/ является собственным значением обратной матрицы, и задача (15) отличается от ранее рассмотренной тем, что здесь будет вычисляться наибольшее по модулю собственное значение1/ матрицы А^–1, что будет достигнуто при наименьшем по модулю λ.

6.4. Задания

1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А (упражнение 1).

2. Доказать, что все собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.

3. Найти собственные значения треугольной матрицы.

4. Доказать, что нуль является собственным значением матрицы А тогда и только тогда, когда А – вырожденная матрица.

5. Доказать, что собственные значения матрицы А^–1 обратны собственным значениям матрицы А.

6. Собственные значения матрицы А равны . Найти все собственные значения матриц:

а) 3А, б) А-2Е.

Упражнение 1 выполняется по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 6

Вариант	Матрица А	Вариант	Матрица А
1	2	3	4
1	0 -1 1 -1 0 1 1 1 0	8	-3 -2 0 4 3 0 0 0 2
2	1 0 1 1 1 0 0 1 1	9	1 1 1 0 -5 2 0 -6 2
3	1 -1 2 1 -1 3 1 -1 2	10	1 0 1 0 1 0 1 0 1
4	-1 1 0 -4 3 0 -2 1 1	11	1 0 1 0 1

Окончание таблицы 6

1	2	3	4
5	3 -3 1 3 -3 1 3 -3 1	12	-1 0 1 0 1 0 1 0 -1
6	-1 -2 0 0 -2 0 2 2 1	13	0 0 0 0 0 2 0 2 0
7	-4 -6 0 3 5 0 3 6 -1	14	3 0 0 2 6 5 -2 -2 -1

7. В соответствии с выбранным вариантом (табл. 7) найти собственные значения и собственные вектора матриц A и B с использованием математического редактора MathCad. Осуществить проверку правильности нахождения собственных значений и собственных векторов матриц с помощью встроенных функций MathCad eigenvals() и eigenvecs().

Таблица 7

Вариант	Матрица A	Матрица B
1	2	3
	-0.3 0.8 14.1 -3.2	-0.1 0.4 1.1 8.1 -3.2 1.8 1.2 -0.4 -0.8
	0.7 0.8 -1.4 0.1	-0.1 -0.4 -1.1 0.1 -5.2 1.8 -2.2 -0.4 0.8
	-1.5 0.1 6 0.1	1.7 -1.4 -1.1 -0.1 -0.2 -0.3 0.2 -0.4 2.8
	-1.5 -2.4 2 -7.8	-0.9 -3.4 3.1 -0.8 0.2 -0.3 -0.8 -0.4 1.8

Окончание таблицы 7

1	2	3
	-1 1.2 2.8 -2.4	-0.1 0.4 0.1 0.1 1.2 -0.3 0.2 0.4 1.8
	0.5 -4.3 0.7 -2.1	2.8 8.4 7.1 -6.1 -7.2 -10.3 -10.2 10.4 -5.8
	-1.7 -0.3 -5.6 -1.1	-10.1 10.4 10.1 1.1 -3.2 1.8 1.2 -0.4 -0.8
	-1.4 1.4 -0.6 -5.1	-1.2 10.4 10.1 1.1 -13.2 1.8 1.2 0.4 -5.8
	2.7 5.2 -1.8 -3.1	-1.2 -10.4 10.1 1.1 -13.2 1.8 1.2 -0.4 -5.8
	-1 -9 -0.2 -3.1	-1.2 5.4 1.1 5.1 -4.2 3.4 -1.2 0.4 -0.8
	0.1 -1.2 0.6 -0.1	-2.6 5.4 -1.1 -5.1 -7.8 3.4 -1.2 0.4 -3.1
	-0.4 -0.2 3.5 -1.1	-2.6 5.4 -1.1 -5.1 -7.8 -3.4 -1.2 -0.4 -3.1
	-0.2 2.5 -0.8 -1.2	-1.6 5.4 -1.1 -5.1 -1.8 -3.4 -1.2 -0.4 -3.1