6.2. Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц

Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

• eigenvals(A) – вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;

• eigenvecs(A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью MathCad.

1. Задаем системную переменную и матрицы А (исходную) и Е (единичную):

2. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А с помощью встроенных функций MathCad:

3. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А вручную. Для этого составляем характеристический определитель и вычисляем характеристический полином:

4. Приравниваем его нулю нажатием Ctrl+= (получаем характеристическое уравнение):

5. Находим корни характеристического уравнения с помощью символьных вычислений (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню СимволыПеременныеВычислить, затем нажимаем символ =)

6. Присваиваем

Это и есть собственные значения матрицы А.

7. Далее найдем собственные векторы матрицы А вручную. Для этого запишем левую часть системы уравнений:

_,

где x1, x2 – элементы собственных векторов, соответствующих собственным значениям λ.

8. Получим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1:

Запишем каждое уравнение системы отдельно (приравниваем их нулю нажатием Ctrl+=)

Из первого уравнения выразим х2 (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы Переменные Вычислить)

Принимаем х1=0.869 (согласно пункту 2)

Тогда х2=0.56880.869=0.494

Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1:

9. Получим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2:

Запишем каждое уравнение системы отдельно (приравниваем их нулю нажатием Ctrl+=)

Из первого уравнения выразим х2 (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы Переменные Вычислить)

Принимаем х1=-0.604 (согласно пункту 2)

Тогда х2= –1.319(–0.604)=0.797

Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2:

Для собственных векторов матрицы справедливы следующие утверждения:

1. Собственные векторы матрицы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

2. Если число различных корней матрицы n-го порядка равно n, то в пространстве существует базис из собственных векторов матрицыА (непосредственно следует из свойства 1).

3. Базис из собственных векторов матрицы А существует в том и только в том случае, когда сумма размерностей собственных подпространств равна n. Такая матрица называется матрицей простой структуры. Если – матрица простой структуры, то любой вектор изявляется линейной комбинацией линейно независимой системысобственных векторов этой матрицы.

4. Матрица простой структуры подобна диагональной матрице, т.е. , такая что

, (8)

где – собственные значения матрицы.

5. Все корни характеристического многочлена симметрической матрицы действительны, т.е.

.

6. Собственные векторы симметрической матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

7. Для симметрической матрицы в пространствесуществует ортонормированный базис из собственных векторов.

Решим еще два примера на нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы.

Пример 1. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

.

Решение. Находим корни характеристического многочлена

==

=:

, .

Ищем собственные векторы с собственным значением , как решение системы:

.

Общее решение системы . Фундаментальная система решений или базис пространства решений

, .

Собственный вектор для находим из системы:

,

.

Ответ. ,– собственные значения,

, ,– собственные векторы.

Пример 2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов симметрической матрицы

.

Находим характеристический многочлен матрицы :

. Целые корни ищем среди делителей свободного члена:

.

Найдем собственные векторы с собственным значением .

.

Базис в пространстве решений ,.

Так как мы ищем ортонормированный базис, то ортогонализуем систему ,. Получаем,,,,,.

Нашли ортонормированный базис в собственном подпространстве с собственным значением .

Найдем собственный вектор для собственного значения :

.

Решаем методом Гаусса, получим ,,.

Ответ. Искомый ортонормированный базис .

Преобразование подобия (8) можно использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу вычисления её собственных значений свести к аналогичной задаче для более простой матрицы. Очевидно, самым лучшим упрощением исходной матрицы было бы приведение её к треугольному виду:

Тогда характеристическая матрица С так же имела бы треугольный вид. Как известно, определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен в этом случае имеет вид:

(9)

Собственные значения матрицы, равные корням этого многочлена, можно получить сразу.

(10)

Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны её диагональным элементам.

Некоторые типы матриц удается привести к треугольному виду с помощью преобразований подобия. В частности, симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду. На практике часто используется приведение симметрической матрицы к трехдиагональному виду.

Существует ряд методов, основанных на преобразовании подобия, позволяющие привести исходную матрицу к более простой структуре.