5.3. Свойства транспонированных матриц
;
;
;
.
Первые два свойства следуют из того, что определитель не меняется при транспонировании. Третье свойство очевидно. Докажем четвертое свойство:
Пусть
Отсюда
5.4. След матрицы
Следом
квадратной матрицы
,
называется сумма её диагональных
элементов, то есть число
Справедливы следующие утверждения:
Если А и B подобные матрицы, т.е.
,
то
Утверждение 1 доказывается непосредственным вычислением. Докажем свойство 2:
,
Эти суммы равны, так как отличаются только порядком слагаемых. Докажем свойство 3:
Пример. Найти след матрицы:
Найдем след матрицы
А вручную.
.
Найдем след матрицы А с помощью Mathcad:
Задаем системную переменную
Задаем матрицу
Находим след матрицы А как сумму её диагональных элементов
Данная операция также может быть организована в виде встроенной функции tr():
tr (A) – след квадратной матрицы А
Пример.
Подобны ли матрицы
и
?
Ответ. Нет, так как
,
но следует учитывать, что если бы след
у них был одинаковым, утверждать о
подобности матриц все равно было бы
нельзя.
5.5. Различные классы квадратных матриц
Матрица
называетсясимметрической,
если
или
.
Матрица
называетсякососимметрической,
если
или
.
Легко видеть, что
для кососимметрической матрицы
Пример.
Любая матрица может быть представлена как сумма симметрической и кососимметрической.
Действительно:
Матрица
называетсяортогональной,
если
,
из определения следует, что для
ортогональной матрицы А:
Можно доказать, что матрица А ортогональна тогда и только тогда, когда столбцы (строки) матрицы образуют ортонормированную систему векторов.
Если А
– ортогональная
матрица, то система линейных уравнений
решается мгновенно.
Пример. Решить систему
Матрица
ортогональна (проверьте!)
Ответ.
,
,
.
5.6. Задания
В соответствии с выбранным вариантом (табл. 5) найти ранг и базисный минор матриц A и B с использованием математического редактора MathCad. Осуществить проверку правильности нахождения ранга матриц с помощью встроенной функции MathCad rank().
В соответствии с выбранным вариантом (табл. 5) осуществить транспонирование матриц A и B и найти их след (если возможно). Осуществить проверку правильности нахождения следа матриц с помощью встроенной функции MathCad tr().
Таблица 5
|
Вариант |
Матрица A |
Матрица B |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 -1 3 -2 4 4 -2 5 1 7 2 -1 1 8 2 |
1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 1 2 3 14 32 4 5 6 32 77 |
|
|
25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 |
1 -2 3 -1 -1 -2 2 -1 1 0 -2 -2 -2 -5 8 -4 3 -1 6 0 -1 2 -7 -5 -1 -1 1 -1 2 1 |
|
|
1 3 5 -1 2 -1 -3 4 5 1 -1 7 7 7 9 1 |
2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1 |
|
|
4 3 9 4 2 6 9 5 0 3 3 2 |
1 -1 2 3 4 2 1 -1 2 0 -1 2 1 1 3 1 5 -8 -5 -12 3 -7 8 9 13 |
|
|
3 3 4 -2 -5 8 6 12 -1 0 7 9 8 -9 -25 1 3 0 -5 -15 |
2 1 3 -1 3 -1 2 0 1 3 4 -2 4 -3 1 1 |
Окончание таблицы 5
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 0 4 8 0 2 2 3 0 0 2 1 0 1 10 3 -4 1 14 0 4 3 3 1 10 |
3 2 -1 2 0 1 4 1 0 -3 0 2 2 -1 -2 1 1 -3 3 1 3 -9 -1 6 3 -1 -5 7 2 -7 |
|
|
5 6 -2 7 4 2 3 -1 4 2 7 9 -3 5 6 5 9 -3 1 6 |
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 |
|
|
1 0 -1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 -1 1 |
2 -1 1 3 4 2 -1 2 1 -2 2 -3 1 2 -2 1 0 1 -2 -6 1 2 1 -1 0 4 -1 3 -1 -8 |
|
|
1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 |
1 2 1 3 4 -1 -5 -6 1 -3 -4 -7 2 1 -1 0 |
|
|
0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 |
2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 |
|
|
75 0 116 39 0 171 -69 402 123 45 301 0 87 -417 -169 114 -46 268 82 30 |
1 -1 2 0 0 1 0 1 -1 2 0 1 1 0 -1 0 2 1 1 -1 0 0 1 2 2 0 0 1 -1 1 -1 1 0 1 1 2 |
|
|
2 1 11 2 1 0 4 -1 11 4 56 5 2 -1 5 -6 |
2 -4 3 1 0 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 4 -7 4 -4 5 |
|
|
14 12 6 8 2 6 104 21 9 17 7 6 3 4 1 35 30 15 20 5 |
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 |