8

С физической точки зрения скалярное произведение означает работу А, производимую постоянной силой F по прямолинейному перемещению S материальной точки единичной массы, то есть

A = FS = F S cosϕ (рис1)

F

ϕ

S

Рис.1

2. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

Пусть в пространстве R3 выбрана некоторая прямоугольная система координат OXYZ.

Определение. Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с = [ab],удовлетворяющий следующим трем усло-

виям:

1. Длина вектора с равна произведению длин векторов а и в на синус угла ϕ

между ними, то есть

c= ab sinϕ.

2.Вектор с ортогонален к каждому из векторов а и в. Вектор с относительно векторов а и в направлен так же, как координатная ось OZ относительно координатных осей OX и OY.

Замечание1 . Направление вектора с можно определять и по правилу правой руки: если векторы а,в,с приведены к общему началу, то вектор с должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, когда большой палец направлен по вектору а, а указательный - по вектору в.

9

Замечание2 . Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в , приложенных к общему началу.

Из определения векторного произведения вытекают следующие его свой-

ства.

1. [ab]= -[ba].

2. [(λa)b]=λ[ab].

3. [(a +b)c]=[ac]+[bc].

4. [aa]=θ.

Отметим следующее простое тождество, имеющее место для любых векторов а и в

[ab]2 =a2b2 −(ab)2.

Теорема. (Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы а и в заданы

своими прямоугольными координатами а=(а1,а2,а3), в =(в1,в2,в3). Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

i j k

3. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Определение. Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число abc, определяемое формулой

abc = [ab]c.

Из определения смешанного произведения вытекают следующие его свойства:

1.Абсолютная величина смешанного произведениея abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b

ис.

2.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке

его сомножителей, то есть

abc = bca = cab.

3. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет

свой знак на противоположный, то есть

abc = -acb = -bac .

4. Три вектора a,b,c компланарны тогда и только тогда, когда их смешан-

ное произведение равно нулю.

Теорема. (Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы a,b,c заданы своими прямоугольными координатами

a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3), c = (c1,c2,c3).

10

Тогда их смешанное произведение abc равно определителю третьего по-

рядка, строки которого являются соответственно координатами пере-

множаемых векторов, то есть