1
1. Трехмерное пространство. Векторы. Линейные операции над векторами.
Определение. Вектором AB называется направленный отрезок с началом в точке А и с концом в точке В.
Краткости ради, будем обозначать вектор одной буквой; например,
a = AB (рис.2), и называть его, когда это необходимо, одномерным при n=1, двумерным при n=2 и трехмерным при n=3.
Начало вектора называют также его точкой приложения. Вектор BA называется противоположным вектору AB и обозначается − a
|
|
B |
|
|
|
A |
|
|
|
|
− |
|
|
a |
|
a |
||||
A |
B |
|
|
Рис.2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ и обозначается AB
или |
|
a |
|
. Длина вектора называется также модулем вектора. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым |
|
и обо- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, то вектор |
|
называется единичным. |
|
|
|
||||||||||||
значается |
|
. Если |
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Два вектора |
|
и |
|
называются коллинеарными, если они лежат на |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||
одной прямой или параллельны одной прямой (рис.3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис |
c |
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис4. |
|
|
Рис.5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Два вектора называются одинаково направленными |
( про- |
||||||||||||||||||||||||
тивоположно |
|
направленными ) , |
если они коллинеарны и распола- |
|||||||||||||||||||||||||||
гаются по одну сторону (по разные стороны) прямой, проходящей через начала этих векторов (рис.4), (рис.5).
Определение. Два вектора a и b называются равными, если они имеют равные длины и одинаковые направления; при этом пишут: a =b .
Из этого определения вытекает, что если вектор a перемещать в Rn параллельно самому себе, сохраняя его длину и направление, то получим тот же
вектор a .
В частности, коллинеарные векторы всегда можно расположить на одной прямой.
2
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Очевидно, компланарные векторы всегда можно расположить в одной плоскости (рис.6).
a
b
c
Рис.6
|
|
|
|
Определение. Суммой двух |
векторов |
a |
и |
b |
|
называется вектор |
|||||
|
c |
= |
a |
+ |
b |
, идущий из начала вектора |
a |
|
в конец вектора |
b |
, при условии, что |
||||
вектор b приложен к концу вектора a (рис.7) (правило треугольника). a
|
|
a + |
|
|
b |
b |
b
a
Рис.7
Очевидно, если векторы a и b приложить к общему началу, то вектор a +b есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, выходящих из общего начала векторов a и b (рис.7) (правило параллелограмма).
Легко проверить следующие свойства суммы векторов:
1)a +b =b + a ; 2) (a +b) + с = a + (b + c) ; 3)a + 0 = a ; 4)a + (−a) = 0 .
Сумма любого числа векторов может быть построена при помощи следующего правила, вытекающего из определения суммы двух векторов.
Общее правило сложения векторов. Чтобы построить сумму векторов а1,а2,...,ап, нужно к концу вектора а1 приложить вектор а2, затем к концу вектора а2 приложить вектор а3 и так далее, пока не дойдем до вектора ап. Тогда суммой а1+а2+...+ап будет вектор, идущий из начала вектора а1 в конец вектора аn (рис.8).
a4
a3
a5
3
Рис. 8
Определение. Вектор с = в-а называется разностью векторов в и а, если а+с = в
b |
b − a |
|
a
(рис.9).
Из рис.9 видно, что разность двух векторов, приведенных к общему началу, есть вектор, идущий из конца вектор-вычитаемого в конец векторуменьшаемого.
Определение. Произведением вектора а на вещественное числоα называется вектор b = αa , который имеет длину b = α
a , одинаково направ-
лен с вектором а, еслиα >0, и противоположно направлен вектору а, если
α <0 .
Итак, вектор αa - это вектор, коллинеарный вектору а и растянутый в α раз («растянутый» в широком смысле этого слова). При этом под вектором 0а понимается нулевой вектор 0.
Теорема. Если вектор в коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число α такое, что в = αа.
Операции сложения векторов и произведения вектора на число связаны следующими условиями:
5)(α +β) а = αа+βа;
6)α(βа) = (αβ)а;
7)α(а+в) = αа+αв.
Свойства 5)-7) геометрически очевидны.
Рассмотрим вектор (-1)а. На основании свойства 5) имеем: а+(-1)а=0; из свойства (4) следует, что вектор (-1)а есть вектор -а, противоположный вектору а.
3. Базис. Разложение вектора по базису.
4
Определение. Упорядоченная пара (а,в) двух ненулевых двумерных векторов а и в называются базисом числовой плоскости R2, если для любого вектора с R2 существуют такие числа αи β, что справедливо представле-
ние |
|
c = αa +βb |
(1) |
|
При этом числа α и β называются аффинными координатами вектора с в базисе (а,в), а равенство (1) называется разложением вектора с по базису (а,в).
Определение. Упорядоченная тройка (а,в,с) трех ненулевых трехмерных векторов а,в,с называется базисом числового пространства R3 , если для любо-
го вектора с R3 существуют такие вещественные числа α,β,γ , что спра-
ведливо равенство |
|
d = αа+βв+ γ c |
(2) |
При этом числа α,β,γ называются аффинными координатами вектора d в базисе (а, в, с), а равенство (2) называется разложением вектора d по базису (а, в,
с).
Рассмотрим важные частные случаи базиса.
1. Пусть i,j - единичные двумерные векторы, лежащие на осях координат соответственно OX и OY. Так как они неколлинеарны, то (i,j) - базис пространства R2. Тогда, для любого вектора с R2 существуют такие числа с1 и с2, что имеет место равенство
с = с1i+c2j,
которое записывается короче: с = (с1,с2).
Найдем координаты векторов i и j в базисе (i,j).
Пусть i = (i1,i2), j = (j1,j2). Тогда
i = i1i+i2j, j = j1i+j2j.
Откуда получаем: i1 = 1, i2 = 0, j1 = 0, j2 = 1; то есть i = (1,0), j = (0,1).
Базис (i,j) называется прямоугольным базисом в пространстве R2. 2. Пусть i,j,k - единичные трехмерные векторы, лежащие на осях ко-
ординат соответственно OX,OY,OZ. Так как они некомпланарны, то (i,j,k) - базис пространства R3. Тогда, для любого вектора с R3 существуют такие числа с1,с2,с3, что имеет место равенство
с = с1i+c2j+с3k,
которое записывается короче: с = (с1,с2,с3).
Аналогично, для координат векторов i,j,k в базисе (i,j,k) имеем: i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).
Базис (i,j,k) называется прям оугольным базисом в пространстве R3. Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными арифметическими операциями над числами - координатами этих векторов. Именно справедлива следующая
теорема.
Теорема. При сложении двух векторов, разложенных по одному и тому же базису, их координаты складываются. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
5
Например, в прямоугольном базисе для векторов а=(2,3,-1), в=(3,0,1) име-
ем: 2а+3в=(13, 6, 1).
Пусть в некотором пространстве заданы произвольная ось Т и вектор АВ. Обозначим буквами А1 и В1 основания перпендикуляров, опущенных на ось т из точек А и В соответственно (рис.13).
B B
A A
T
O
B1 |
A1 |
A1 |
B1 |
Рис.13
Определение. Проекцией вектора АВ на ось т называется величина вектора А1В1, то есть длина вектора А1В1, если ось т и вектор А1В1 одинаково направлены и длина вектора А1В1, взятая со знаком минус, если ось т и вектор А1В1 противоположно направлены.
Пусть а=АВ. Проекцию вектора а на ось т обозначают символом - прmа. Выясним геометрический смысл координат вектора в прямоугольном ба-
зисе.
Пусть a вектор из пространства R2 , в котором задана прямоугольная сис-
тема координат OXY, и пусть а1 |
= прха и а2 = пруа проекции вектора а на оси |
|||
OX и OY соответственно. Тогда (рис.14) |
|
|
||
|
|
а = а1i+а2j |
|
(9) |
y |
|
|
|
|
B2 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
a2j |
|
|
|
|
A2 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
a1i |
|
|
|
i |
A1 |
B1 |
x |
|
|
Рис. 14 |
|
|
Аналогично, если а - трехмерный вектор и а1 |
= прха, а2 = пруа, а3 = прzа |
|||
проекции этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно, то имеем (рис.15): |
||||
|
а = а1i+a2j+a3k |
|
(10) |
|
|
|
6 |
|
|
z |
|
C1 |
|
|
|
A |
|
O |
y |
|
|
B1 |
x |
A1 |
|
Рис. 15 Из формул (9) и (10) вытекает геометрический смысл координат вектора:
координаты вектора в прямоугольном базисе являются проекциями этого вектора на соответствующие оси.
Из теоремы Пифагора вытекают формулы для длины вектора:
|
|
|
|
a |
|
= |
a1 |
2 +a2 |
2 - для двумерного вектора; |
(11) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
= a 2 |
+a 2 |
+а 2 |
- для трехмерного случая. |
(12) |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
Определение. Углом наклона вектора а к оси m называется уголϕ
между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление вектора а, другой - направление оси m (рис16).
B
ϕ
A
M
m
Рис.16
Теорема. Проекция вектора а на ось m равна длине вектора а, умноженной на косинус ϕ угла наклона вектора а к оси m, то есть
прmа = |
|
асosϕ. |
(13) |
|
Определение. Направляющими косинусами вектора а называются косинусы углов наклона α,β, γ к осям соответственно OX, OY, OZ, то
есть числа cosα,cosβ,cosγ.
Для трехмерного вектора а=(а1,а2,а3), заданного прямоугольными координатами, формула (13) дает формулы, выражающие координаты вектора а
через его длину и направляющие косинусы: |
|
a1 = a cosα, a2 = a cosβ, a3 = a cos γ. |
(14) |