2x −3 |
− |
(2x −3)2 |
+ |
(2x −3)3 |
+... |
1 |
|
3 |
|
5 |
|
2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на границах интервала
∞
∑n!xn−1 .
n=1
3. Применяя почленное дифференцирование, найти сумму ряда
∞ x2n−1
∑n=1 2n −1 .
4. Применяя почленное дифференцирование, найти сумму ряда
∞ |
(−1) |
n−1 |
x |
2n−1 |
|
|
∑ |
|
|
. |
|||
2n −1 |
||||||
n=1 |
|
|||||
5. Применяя почленное интегрирование, найти сумму ряда
∞
∑(n +1)xn .
n=1
6. Применяя почленное интегрирование, найти сумму ряда
∞
∑(−1)n−1 (2n −1)x2n−2 .
n=1
7. Разложить функцию
f (x) = x3 − 2x2 −5x − 2
в ряд по степеням x + 4 .
8. Написать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции
f (x) = x−1, a =1.
9. Написать первые три члена разложения в ряд Маклорена функции
f(x) = tg x .
10.Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости f (x) = 2x .
Контрольные вопросы по теме занятия:
10.Напомните определение ряда с положительными членами. 11.Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 12.Написать формулу Маклорена.
Заключение.
∞ |
f (k )(x |
0 |
) |
(x − x0 ) |
n |
|
Итак, изучен ряд Тейлора – это степенной ряд ∑ |
|
|
|
, где |
||
n! |
|
|
|
|||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
числовая функция f определена в некой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд Маклорена для функции f(x) - это степенной ряд вида
∑∞ f (k )(0)xn . Такой ряд изучался Маклореном, который пришел к выводу
n=0 n!
о возможности представления функции в виде степенного ряда. Далее было установлено, что если аналитическая в нуле функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд совпадает с рядом Маклорена. Ряд Маклорна является частным случаем ряда Тейлора. Разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена применяется в различных разделах математики: в анализе для исследования функций, при отыскании решений в виде ряда, в численных методах для приближенного вычисления значений функции.